Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64342 / 27766
↖ ↑ ↗
← N 71.421930°
W  3.279419°		 ← 97.31 m → N 71.421930°
W  3.276672°		 →
↑
97.35 m
↓
↑
97.35 m
↓
N 71.421054°
W  3.279419°		 ← 97.31 m →
9 473 m²		 N 71.421054°
W  3.276672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490894317626953 y=0.211841583251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490894317626953 × 217)
    floor (0.490894317626953 × 131072)
    floor (64342.5)     		tx = 64342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211841583251953 × 217)
    floor (0.211841583251953 × 131072)
    floor (27766.5)     		ty = 27766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64342 / 27766 ti = "17/64342/27766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64342/27766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64342 ÷ 217
    64342 ÷ 131072     		x = 0.490890502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27766 ÷ 217
    27766 ÷ 131072     		y = 0.211837768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490890502929688 × 2 - 1) × π
    -0.018218994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05723666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211837768554688 × 2 - 1) × π
    0.576324462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.81057669864952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05723666} λ = -0.05723666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81057669864952))-π/2
    2×atan(6.11397233531848)-π/2
    2×1.40867207592282-π/2
    2.81734415184564-1.57079632675     		φ = 1.24654783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05723666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.279419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24654783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.421930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64342 KachelY 27766 -0.05723666 1.24654783 -3.279419 71.421930
    Oben rechts KachelX + 1 64343 KachelY 27766 -0.05718872 1.24654783 -3.276672 71.421930
    Unten links KachelX 64342 KachelY + 1 27767 -0.05723666 1.24653255 -3.279419 71.421054
    Unten rechts KachelX + 1 64343 KachelY + 1 27767 -0.05718872 1.24653255 -3.276672 71.421054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24654783-1.24653255) × R
    1.52799999999509e-05 × 6371000     		dl = 97.3488799996871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24654783-1.24653255) × R
    1.52799999999509e-05 × 6371000     		dr = 97.3488799996871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05723666--0.05718872) × cos(1.24654783) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.318596533199872 × 6371000     		do = 97.3075819140122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05723666--0.05718872) × cos(1.24653255) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.318611016928302 × 6371000     		du = 97.3120056174859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24654783)-sin(1.24653255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318596533199872-0.318611016928302)×R²
    abs(-0.05718872--0.05723666)×1.44837284299371e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.44837284299371e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.44837284299371e-05×40589641000000     		ar = 9472.99943642653m²