Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64339 / 32463
↖ ↑ ↗
← N 66.844887°
W  3.287659°		 ← 120.10 m → N 66.844887°
W  3.284912°		 →
↑
120.09 m
↓
↑
120.09 m
↓
N 66.843807°
W  3.287659°		 ← 120.11 m →
14 424 m²		 N 66.843807°
W  3.284912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490871429443359 y=0.247676849365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490871429443359 × 217)
    floor (0.490871429443359 × 131072)
    floor (64339.5)     		tx = 64339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247676849365234 × 217)
    floor (0.247676849365234 × 131072)
    floor (32463.5)     		ty = 32463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64339 / 32463 ti = "17/64339/32463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64339/32463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64339 ÷ 217
    64339 ÷ 131072     		x = 0.490867614746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32463 ÷ 217
    32463 ÷ 131072     		y = 0.247673034667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490867614746094 × 2 - 1) × π
    -0.0182647705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05738047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247673034667969 × 2 - 1) × π
    0.504653930664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.58541708113412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05738047} λ = -0.05738047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58541708113412))-π/2
    2×atan(4.88132686334622)-π/2
    2×1.3687298502024-π/2
    2.7374597004048-1.57079632675     		φ = 1.16666337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05738047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.287659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16666337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.844887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64339 KachelY 32463 -0.05738047 1.16666337 -3.287659 66.844887
    Oben rechts KachelX + 1 64340 KachelY 32463 -0.05733253 1.16666337 -3.284912 66.844887
    Unten links KachelX 64339 KachelY + 1 32464 -0.05738047 1.16664452 -3.287659 66.843807
    Unten rechts KachelX + 1 64340 KachelY + 1 32464 -0.05733253 1.16664452 -3.284912 66.843807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16666337-1.16664452) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dl = 120.093350000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16666337-1.16664452) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dr = 120.093350000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05738047--0.05733253) × cos(1.16666337) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.393221710877836 × 6371000     		do = 120.100032028937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05738047--0.05733253) × cos(1.16664452) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.393239042321398 × 6371000     		du = 120.105325497913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16666337)-sin(1.16664452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393221710877836-0.393239042321398)×R²
    abs(-0.05733253--0.05738047)×1.73314435621408e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.73314435621408e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.73314435621408e-05×40589641000000     		ar = 14423.5330371737m²