Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64337 / 32467
↖ ↑ ↗
← N 66.840567°
W  3.293152°		 ← 120.10 m → N 66.840567°
W  3.290406°		 →
↑
120.16 m
↓
↑
120.16 m
↓
N 66.839487°
W  3.293152°		 ← 120.10 m →
14 431 m²		 N 66.839487°
W  3.290406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490856170654297 y=0.247707366943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490856170654297 × 217)
    floor (0.490856170654297 × 131072)
    floor (64337.5)     		tx = 64337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247707366943359 × 217)
    floor (0.247707366943359 × 131072)
    floor (32467.5)     		ty = 32467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64337 / 32467 ti = "17/64337/32467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64337/32467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64337 ÷ 217
    64337 ÷ 131072     		x = 0.490852355957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32467 ÷ 217
    32467 ÷ 131072     		y = 0.247703552246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490852355957031 × 2 - 1) × π
    -0.0182952880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.05747634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247703552246094 × 2 - 1) × π
    0.504592895507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.58522533353564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05747634} λ = -0.05747634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58522533353564))-π/2
    2×atan(4.88039097037326)-π/2
    2×1.36869214721995-π/2
    2.73738429443989-1.57079632675     		φ = 1.16658797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05747634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.293152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16658797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.840567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64337 KachelY 32467 -0.05747634 1.16658797 -3.293152 66.840567
    Oben rechts KachelX + 1 64338 KachelY 32467 -0.05742841 1.16658797 -3.290406 66.840567
    Unten links KachelX 64337 KachelY + 1 32468 -0.05747634 1.16656911 -3.293152 66.839487
    Unten rechts KachelX + 1 64338 KachelY + 1 32468 -0.05742841 1.16656911 -3.290406 66.839487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16658797-1.16656911) × R
    1.88599999999539e-05 × 6371000     		dl = 120.157059999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16658797-1.16656911) × R
    1.88599999999539e-05 × 6371000     		dr = 120.157059999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05747634--0.05742841) × cos(1.16658797) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.3932910358137 × 6371000     		do = 120.096149076878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05747634--0.05742841) × cos(1.16656911) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.393308375892384 × 6371000     		du = 120.101444078505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16658797)-sin(1.16656911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3932910358137-0.393308375892384)×R²
    abs(-0.05742841--0.05747634)×1.73400786845912e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.73400786845912e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.73400786845912e-05×40589641000000     		ar = 14430.7183067249m²