Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64332 / 27740
↖ ↑ ↗
← N 71.444667°
W  3.306885°		 ← 97.19 m → N 71.444667°
W  3.304138°		 →
↑
97.22 m
↓
↑
97.22 m
↓
N 71.443793°
W  3.306885°		 ← 97.20 m →
9 449 m²		 N 71.443793°
W  3.304138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490818023681641 y=0.211643218994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490818023681641 × 217)
    floor (0.490818023681641 × 131072)
    floor (64332.5)     		tx = 64332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211643218994141 × 217)
    floor (0.211643218994141 × 131072)
    floor (27740.5)     		ty = 27740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64332 / 27740 ti = "17/64332/27740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64332/27740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64332 ÷ 217
    64332 ÷ 131072     		x = 0.490814208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27740 ÷ 217
    27740 ÷ 131072     		y = 0.211639404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490814208984375 × 2 - 1) × π
    -0.01837158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05771603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211639404296875 × 2 - 1) × π
    0.57672119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.81182305803964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05771603} λ = -0.05771603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81182305803964))-π/2
    2×atan(6.12159729288122)-π/2
    2×1.40887050157662-π/2
    2.81774100315324-1.57079632675     		φ = 1.24694468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05771603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.306885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24694468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.444667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64332 KachelY 27740 -0.05771603 1.24694468 -3.306885 71.444667
    Oben rechts KachelX + 1 64333 KachelY 27740 -0.05766809 1.24694468 -3.304138 71.444667
    Unten links KachelX 64332 KachelY + 1 27741 -0.05771603 1.24692942 -3.306885 71.443793
    Unten rechts KachelX + 1 64333 KachelY + 1 27741 -0.05766809 1.24692942 -3.304138 71.443793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24694468-1.24692942) × R
    1.52599999998504e-05 × 6371000     		dl = 97.2214599990469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24694468-1.24692942) × R
    1.52599999998504e-05 × 6371000     		dr = 97.2214599990469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05771603--0.05766809) × cos(1.24694468) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.31822033780855 × 6371000     		do = 97.192682158233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05771603--0.05766809) × cos(1.24692942) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.318234804507572 × 6371000     		du = 97.1971006604872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24694468)-sin(1.24692942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31822033780855-0.318234804507572)×R²
    abs(-0.05766809--0.05771603)×1.44666990221087e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.44666990221087e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.44666990221087e-05×40589641000000     		ar = 9449.42924726119m²