Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6433 / 6035
↖ ↑ ↗
← S 64.529548°
E102.700195°		 ← 2 101.41 m → S 64.529548°
E102.744141°		 →
↑
2 100.71 m
↓
↑
2 100.71 m
↓
S 64.548440°
E102.700195°		 ← 2 099.96 m →
4 412 935 m²		 S 64.548440°
E102.744141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78533935546875 y=0.73675537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78533935546875 × 213)
    floor (0.78533935546875 × 8192)
    floor (6433.5)     		tx = 6433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73675537109375 × 213)
    floor (0.73675537109375 × 8192)
    floor (6035.5)     		ty = 6035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6433 / 6035 ti = "13/6433/6035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6433/6035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6433 ÷ 213
    6433 ÷ 8192     		x = 0.7852783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6035 ÷ 213
    6035 ÷ 8192     		y = 0.7366943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7852783203125 × 2 - 1) × π
    0.570556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.79245655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7366943359375 × 2 - 1) × π
    -0.473388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48719437381262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79245655} λ = 1.79245655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48719437381262))-π/2
    2×atan(0.22600585480861)-π/2
    2×0.222271622954443-π/2
    0.444543245908885-1.57079632675     		φ = -1.12625308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79245655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.700195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12625308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.529548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6433 KachelY 6035 1.79245655 -1.12625308 102.700195 -64.529548
    Oben rechts KachelX + 1 6434 KachelY 6035 1.79322354 -1.12625308 102.744141 -64.529548
    Unten links KachelX 6433 KachelY + 1 6036 1.79245655 -1.12658281 102.700195 -64.548440
    Unten rechts KachelX + 1 6434 KachelY + 1 6036 1.79322354 -1.12658281 102.744141 -64.548440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12625308--1.12658281) × R
    0.000329730000000028 × 6371000     		dl = 2100.70983000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12625308--1.12658281) × R
    0.000329730000000028 × 6371000     		dr = 2100.70983000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79245655-1.79322354) × cos(-1.12625308) × R
    0.000766990000000023 × 0.430045565099052 × 6371000     		do = 2101.41476825084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79245655-1.79322354) × cos(-1.12658281) × R
    0.000766990000000023 × 0.429747859113903 × 6371000     		du = 2099.96002995201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12625308)-sin(-1.12658281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430045565099052-0.429747859113903)×R²
    abs(1.79322354-1.79245655)×0.000297705985149055×R²
    0.000766990000000023×0.000297705985149055×6371000²
    0.000766990000000023×0.000297705985149055×40589641000000     		ar = 4412934.70903153m²