Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6431 / 6032
↖ ↑ ↗
← S 64.472794°
E102.612305°		 ← 2 105.78 m → S 64.472794°
E102.656250°		 →
↑
2 105.04 m
↓
↑
2 105.04 m
↓
S 64.491725°
E102.612305°		 ← 2 104.33 m →
4 431 230 m²		 S 64.491725°
E102.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78509521484375 y=0.73638916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78509521484375 × 213)
    floor (0.78509521484375 × 8192)
    floor (6431.5)     		tx = 6431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73638916015625 × 213)
    floor (0.73638916015625 × 8192)
    floor (6032.5)     		ty = 6032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6431 / 6032 ti = "13/6431/6032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6431/6032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6431 ÷ 213
    6431 ÷ 8192     		x = 0.7850341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6032 ÷ 213
    6032 ÷ 8192     		y = 0.736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7850341796875 × 2 - 1) × π
    0.570068359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.79092257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736328125 × 2 - 1) × π
    -0.47265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48489340263086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79092257} λ = 1.79092257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48489340263086))-π/2
    2×atan(0.226526486517008)-π/2
    2×0.222766898346654-π/2
    0.445533796693309-1.57079632675     		φ = -1.12526253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79092257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.612305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12526253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.472794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6431 KachelY 6032 1.79092257 -1.12526253 102.612305 -64.472794
    Oben rechts KachelX + 1 6432 KachelY 6032 1.79168956 -1.12526253 102.656250 -64.472794
    Unten links KachelX 6431 KachelY + 1 6033 1.79092257 -1.12559294 102.612305 -64.491725
    Unten rechts KachelX + 1 6432 KachelY + 1 6033 1.79168956 -1.12559294 102.656250 -64.491725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12526253--1.12559294) × R
    0.000330409999999892 × 6371000     		dl = 2105.04210999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12526253--1.12559294) × R
    0.000330409999999892 × 6371000     		dr = 2105.04210999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79092257-1.79168956) × cos(-1.12526253) × R
    0.000766990000000023 × 0.430939629631134 × 6371000     		do = 2105.78360858769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79092257-1.79168956) × cos(-1.12559294) × R
    0.000766990000000023 × 0.430641450486717 × 6371000     		du = 2104.32655819927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12526253)-sin(-1.12559294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430939629631134-0.430641450486717)×R²
    abs(1.79168956-1.79092257)×0.000298179144417376×R²
    0.000766990000000023×0.000298179144417376×6371000²
    0.000766990000000023×0.000298179144417376×40589641000000     		ar = 4431229.63472271m²