Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64280 / 32538
↖ ↑ ↗
← N 66.763752°
W  3.449707°		 ← 120.50 m → N 66.763752°
W  3.446961°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
N 66.762669°
W  3.449707°		 ← 120.50 m →
14 517 m²		 N 66.762669°
W  3.446961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490421295166016 y=0.248249053955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490421295166016 × 217)
    floor (0.490421295166016 × 131072)
    floor (64280.5)     		tx = 64280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248249053955078 × 217)
    floor (0.248249053955078 × 131072)
    floor (32538.5)     		ty = 32538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64280 / 32538 ti = "17/64280/32538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64280/32538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64280 ÷ 217
    64280 ÷ 131072     		x = 0.49041748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32538 ÷ 217
    32538 ÷ 131072     		y = 0.248245239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49041748046875 × 2 - 1) × π
    -0.0191650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.06020875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248245239257812 × 2 - 1) × π
    0.503509521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.58182181366261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06020875} λ = -0.06020875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58182181366261))-π/2
    2×atan(4.86380869777198)-π/2
    2×1.36802181221459-π/2
    2.73604362442919-1.57079632675     		φ = 1.16524730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06020875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.449707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16524730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.763752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64280 KachelY 32538 -0.06020875 1.16524730 -3.449707 66.763752
    Oben rechts KachelX + 1 64281 KachelY 32538 -0.06016081 1.16524730 -3.446961 66.763752
    Unten links KachelX 64280 KachelY + 1 32539 -0.06020875 1.16522839 -3.449707 66.762669
    Unten rechts KachelX + 1 64281 KachelY + 1 32539 -0.06016081 1.16522839 -3.446961 66.762669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16524730-1.16522839) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dl = 120.4756100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16524730-1.16522839) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dr = 120.4756100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06020875--0.06016081) × cos(1.16524730) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.394523312804108 × 6371000     		do = 120.497574760437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06020875--0.06016081) × cos(1.16522839) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.394540688866539 × 6371000     		du = 120.502881857163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16524730)-sin(1.16522839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394523312804108-0.394540688866539)×R²
    abs(-0.06016081--0.06020875)×1.73760624309072e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.73760624309072e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.73760624309072e-05×40589641000000     		ar = 14517.3385110606m²