Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64279 / 32537
↖ ↑ ↗
← N 66.764836°
W  3.452453°		 ← 120.47 m → N 66.764836°
W  3.449707°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
N 66.763752°
W  3.452453°		 ← 120.47 m →
14 514 m²		 N 66.763752°
W  3.449707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490413665771484 y=0.248241424560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490413665771484 × 217)
    floor (0.490413665771484 × 131072)
    floor (64279.5)     		tx = 64279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248241424560547 × 217)
    floor (0.248241424560547 × 131072)
    floor (32537.5)     		ty = 32537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64279 / 32537 ti = "17/64279/32537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64279/32537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64279 ÷ 217
    64279 ÷ 131072     		x = 0.490409851074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32537 ÷ 217
    32537 ÷ 131072     		y = 0.248237609863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490409851074219 × 2 - 1) × π
    -0.0191802978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.06025668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248237609863281 × 2 - 1) × π
    0.503524780273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.58186975056223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06025668} λ = -0.06025668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58186975056223))-π/2
    2×atan(4.86404185926978)-π/2
    2×1.36803126811861-π/2
    2.73606253623721-1.57079632675     		φ = 1.16526621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06025668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.452453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16526621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.764836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64279 KachelY 32537 -0.06025668 1.16526621 -3.452453 66.764836
    Oben rechts KachelX + 1 64280 KachelY 32537 -0.06020875 1.16526621 -3.449707 66.764836
    Unten links KachelX 64279 KachelY + 1 32538 -0.06025668 1.16524730 -3.452453 66.763752
    Unten rechts KachelX + 1 64280 KachelY + 1 32538 -0.06020875 1.16524730 -3.449707 66.763752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16526621-1.16524730) × R
    1.89099999998721e-05 × 6371000     		dl = 120.475609999185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16526621-1.16524730) × R
    1.89099999998721e-05 × 6371000     		dr = 120.475609999185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06025668--0.06020875) × cos(1.16526621) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.394505936600601 × 6371000     		do = 120.467133647415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06025668--0.06020875) × cos(1.16524730) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.394523312804108 × 6371000     		du = 120.472439680191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16526621)-sin(1.16524730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394505936600601-0.394523312804108)×R²
    abs(-0.06020875--0.06025668)×1.7376203507502e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.7376203507502e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.7376203507502e-05×40589641000000     		ar = 14513.6710352281m²