Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64264 / 95017
↖ ↑ ↗
← S 62.645130°
W  3.493653°		 ← 140.34 m → S 62.645130°
W  3.490906°		 →
↑
140.35 m
↓
↑
140.35 m
↓
S 62.646392°
W  3.493653°		 ← 140.34 m →
19 697 m²		 S 62.646392°
W  3.490906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490299224853516 y=0.724925994873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490299224853516 × 217)
    floor (0.490299224853516 × 131072)
    floor (64264.5)     		tx = 64264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724925994873047 × 217)
    floor (0.724925994873047 × 131072)
    floor (95017.5)     		ty = 95017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64264 / 95017 ti = "17/64264/95017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64264/95017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64264 ÷ 217
    64264 ÷ 131072     		x = 0.49029541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95017 ÷ 217
    95017 ÷ 131072     		y = 0.724922180175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.0194091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.06097574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724922180175781 × 2 - 1) × π
    -0.449844360351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.41322773769888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06097574} λ = -0.06097574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41322773769888))-π/2
    2×atan(0.2433565230851)-π/2
    2×0.238716271521001-π/2
    0.477432543042001-1.57079632675     		φ = -1.09336378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06097574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.493653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09336378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.645130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64264 KachelY 95017 -0.06097574 -1.09336378 -3.493653 -62.645130
    Oben rechts KachelX + 1 64265 KachelY 95017 -0.06092780 -1.09336378 -3.490906 -62.645130
    Unten links KachelX 64264 KachelY + 1 95018 -0.06097574 -1.09338581 -3.493653 -62.646392
    Unten rechts KachelX + 1 64265 KachelY + 1 95018 -0.06092780 -1.09338581 -3.490906 -62.646392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09336378--1.09338581) × R
    2.20300000000062e-05 × 6371000     		dl = 140.35313000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09336378--1.09338581) × R
    2.20300000000062e-05 × 6371000     		dr = 140.35313000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06097574--0.06092780) × cos(-1.09336378) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.459500338105192 × 6371000     		do = 140.343230796038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06097574--0.06092780) × cos(-1.09338581) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.459480771441285 × 6371000     		du = 140.337254633235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09336378)-sin(-1.09338581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459500338105192-0.459480771441285)×R²
    abs(-0.06092780--0.06097574)×1.95666639067338e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.95666639067338e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.95666639067338e-05×40589641000000     		ar = 19697.1923306536m²