Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64261 / 95013
↖ ↑ ↗
← S 62.640082°
W  3.501892°		 ← 140.37 m → S 62.640082°
W  3.499146°		 →
↑
140.35 m
↓
↑
140.35 m
↓
S 62.641344°
W  3.501892°		 ← 140.36 m →
19 701 m²		 S 62.641344°
W  3.499146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490276336669922 y=0.724895477294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490276336669922 × 217)
    floor (0.490276336669922 × 131072)
    floor (64261.5)     		tx = 64261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724895477294922 × 217)
    floor (0.724895477294922 × 131072)
    floor (95013.5)     		ty = 95013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64261 / 95013 ti = "17/64261/95013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64261/95013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64261 ÷ 217
    64261 ÷ 131072     		x = 0.490272521972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95013 ÷ 217
    95013 ÷ 131072     		y = 0.724891662597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490272521972656 × 2 - 1) × π
    -0.0194549560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.06111955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724891662597656 × 2 - 1) × π
    -0.449783325195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.4130359901004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06111955} λ = -0.06111955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4130359901004))-π/2
    2×atan(0.243403190588023)-π/2
    2×0.238760329315335-π/2
    0.477520658630671-1.57079632675     		φ = -1.09327567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06111955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.501892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09327567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.640082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64261 KachelY 95013 -0.06111955 -1.09327567 -3.501892 -62.640082
    Oben rechts KachelX + 1 64262 KachelY 95013 -0.06107161 -1.09327567 -3.499146 -62.640082
    Unten links KachelX 64261 KachelY + 1 95014 -0.06111955 -1.09329770 -3.501892 -62.641344
    Unten rechts KachelX + 1 64262 KachelY + 1 95014 -0.06107161 -1.09329770 -3.499146 -62.641344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09327567--1.09329770) × R
    2.20300000000062e-05 × 6371000     		dl = 140.35313000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09327567--1.09329770) × R
    2.20300000000062e-05 × 6371000     		dr = 140.35313000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06111955--0.06107161) × cos(-1.09327567) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.459578593649301 × 6371000     		do = 140.367132053507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06111955--0.06107161) × cos(-1.09329770) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.459559027877371 × 6371000     		du = 140.361156163136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09327567)-sin(-1.09329770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459578593649301-0.459559027877371)×R²
    abs(-0.06107161--0.06111955)×1.95657719305187e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.95657719305187e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.95657719305187e-05×40589641000000     		ar = 19700.5469661715m²