Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6426 / 6238
↖ ↑ ↗
← S 68.106101°
E102.392578°		 ← 1 822.12 m → S 68.106101°
E102.436524°		 →
↑
1 821.47 m
↓
↑
1 821.47 m
↓
S 68.122482°
E102.392578°		 ← 1 820.82 m →
3 317 753 m²		 S 68.122482°
E102.436524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78448486328125 y=0.76153564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78448486328125 × 213)
    floor (0.78448486328125 × 8192)
    floor (6426.5)     		tx = 6426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76153564453125 × 213)
    floor (0.76153564453125 × 8192)
    floor (6238.5)     		ty = 6238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6426 / 6238 ti = "13/6426/6238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6426/6238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6426 ÷ 213
    6426 ÷ 8192     		x = 0.784423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6238 ÷ 213
    6238 ÷ 8192     		y = 0.761474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784423828125 × 2 - 1) × π
    0.56884765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78708762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761474609375 × 2 - 1) × π
    -0.52294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64289342377856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78708762} λ = 1.78708762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64289342377856))-π/2
    2×atan(0.193419587032253)-π/2
    2×0.191060307304475-π/2
    0.382120614608949-1.57079632675     		φ = -1.18867571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78708762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.392578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18867571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.106101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6426 KachelY 6238 1.78708762 -1.18867571 102.392578 -68.106101
    Oben rechts KachelX + 1 6427 KachelY 6238 1.78785461 -1.18867571 102.436524 -68.106101
    Unten links KachelX 6426 KachelY + 1 6239 1.78708762 -1.18896161 102.392578 -68.122482
    Unten rechts KachelX + 1 6427 KachelY + 1 6239 1.78785461 -1.18896161 102.436524 -68.122482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18867571--1.18896161) × R
    0.00028589999999995 × 6371000     		dl = 1821.46889999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18867571--1.18896161) × R
    0.00028589999999995 × 6371000     		dr = 1821.46889999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78708762-1.78785461) × cos(-1.18867571) × R
    0.000766989999999801 × 0.372888975742732 × 6371000     		do = 1822.11947788136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78708762-1.78785461) × cos(-1.18896161) × R
    0.000766989999999801 × 0.372623680767378 × 6371000     		du = 1820.82311576442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18867571)-sin(-1.18896161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372888975742732-0.372623680767378)×R²
    abs(1.78785461-1.78708762)×0.000265294975353381×R²
    0.000766989999999801×0.000265294975353381×6371000²
    0.000766989999999801×0.000265294975353381×40589641000000     		ar = 3317753.34200427m²