Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64259 / 95011
↖ ↑ ↗
← S 62.637557°
W  3.507385°		 ← 140.38 m → S 62.637557°
W  3.504638°		 →
↑
140.42 m
↓
↑
140.42 m
↓
S 62.638820°
W  3.507385°		 ← 140.37 m →
19 711 m²		 S 62.638820°
W  3.504638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490261077880859 y=0.724880218505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490261077880859 × 217)
    floor (0.490261077880859 × 131072)
    floor (64259.5)     		tx = 64259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724880218505859 × 217)
    floor (0.724880218505859 × 131072)
    floor (95011.5)     		ty = 95011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64259 / 95011 ti = "17/64259/95011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64259/95011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64259 ÷ 217
    64259 ÷ 131072     		x = 0.490257263183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95011 ÷ 217
    95011 ÷ 131072     		y = 0.724876403808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490257263183594 × 2 - 1) × π
    -0.0194854736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.06121542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724876403808594 × 2 - 1) × π
    -0.449752807617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.41294011630116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06121542} λ = -0.06121542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41294011630116))-π/2
    2×atan(0.243426527695343)-π/2
    2×0.238782361026294-π/2
    0.477564722052589-1.57079632675     		φ = -1.09323160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06121542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.507385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09323160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.637557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64259 KachelY 95011 -0.06121542 -1.09323160 -3.507385 -62.637557
    Oben rechts KachelX + 1 64260 KachelY 95011 -0.06116748 -1.09323160 -3.504638 -62.637557
    Unten links KachelX 64259 KachelY + 1 95012 -0.06121542 -1.09325364 -3.507385 -62.638820
    Unten rechts KachelX + 1 64260 KachelY + 1 95012 -0.06116748 -1.09325364 -3.504638 -62.638820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09323160--1.09325364) × R
    2.20399999999454e-05 × 6371000     		dl = 140.416839999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09323160--1.09325364) × R
    2.20399999999454e-05 × 6371000     		dr = 140.416839999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06121542--0.06116748) × cos(-1.09323160) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.459617733405192 × 6371000     		do = 140.379086342393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06121542--0.06116748) × cos(-1.09325364) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.459598159198189 × 6371000     		du = 140.373107875734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09323160)-sin(-1.09325364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459617733405192-0.459598159198189)×R²
    abs(-0.06116748--0.06121542)×1.95742070032701e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.95742070032701e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.95742070032701e-05×40589641000000     		ar = 19711.1679684753m²