Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64257 / 32515
↖ ↑ ↗
← N 66.788662°
W  3.512878°		 ← 120.35 m → N 66.788662°
W  3.510132°		 →
↑
120.35 m
↓
↑
120.35 m
↓
N 66.787580°
W  3.512878°		 ← 120.36 m →
14 484 m²		 N 66.787580°
W  3.510132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490245819091797 y=0.248073577880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490245819091797 × 217)
    floor (0.490245819091797 × 131072)
    floor (64257.5)     		tx = 64257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248073577880859 × 217)
    floor (0.248073577880859 × 131072)
    floor (32515.5)     		ty = 32515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64257 / 32515 ti = "17/64257/32515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64257/32515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64257 ÷ 217
    64257 ÷ 131072     		x = 0.490242004394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32515 ÷ 217
    32515 ÷ 131072     		y = 0.248069763183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490242004394531 × 2 - 1) × π
    -0.0195159912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.06131129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248069763183594 × 2 - 1) × π
    0.503860473632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.58292436235387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06131129} λ = -0.06131129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58292436235387))-π/2
    2×atan(4.86917424102907)-π/2
    2×1.36823919265559-π/2
    2.73647838531119-1.57079632675     		φ = 1.16568206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06131129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.512878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16568206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.788662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64257 KachelY 32515 -0.06131129 1.16568206 -3.512878 66.788662
    Oben rechts KachelX + 1 64258 KachelY 32515 -0.06126336 1.16568206 -3.510132 66.788662
    Unten links KachelX 64257 KachelY + 1 32516 -0.06131129 1.16566317 -3.512878 66.787580
    Unten rechts KachelX + 1 64258 KachelY + 1 32516 -0.06126336 1.16566317 -3.510132 66.787580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16568206-1.16566317) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dl = 120.348189999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16568206-1.16566317) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dr = 120.348189999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06131129--0.06126336) × cos(1.16568206) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.394123780683326 × 6371000     		do = 120.350437740722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06131129--0.06126336) × cos(1.16566317) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.394141141606687 × 6371000     		du = 120.355739107522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16568206)-sin(1.16566317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394123780683326-0.394141141606687)×R²
    abs(-0.06126336--0.06131129)×1.73609233606875e-05×R²
    4.79299999999946e-05×1.73609233606875e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×1.73609233606875e-05×40589641000000     		ar = 14484.2763530848m²