Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6425 / 6194
↖ ↑ ↗
← S 67.373698°
E102.348633°		 ← 1 879.93 m → S 67.373698°
E102.392578°		 →
↑
1 879.25 m
↓
↑
1 879.25 m
↓
S 67.390599°
E102.348633°		 ← 1 878.60 m →
3 531 610 m²		 S 67.390599°
E102.392578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78436279296875 y=0.75616455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78436279296875 × 213)
    floor (0.78436279296875 × 8192)
    floor (6425.5)     		tx = 6425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75616455078125 × 213)
    floor (0.75616455078125 × 8192)
    floor (6194.5)     		ty = 6194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6425 / 6194 ti = "13/6425/6194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6425/6194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6425 ÷ 213
    6425 ÷ 8192     		x = 0.7843017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6194 ÷ 213
    6194 ÷ 8192     		y = 0.756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7843017578125 × 2 - 1) × π
    0.568603515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78632063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.51220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60914584644604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78632063} λ = 1.78632063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60914584644604))-π/2
    2×atan(0.200058421728696)-π/2
    2×0.197451733957839-π/2
    0.394903467915678-1.57079632675     		φ = -1.17589286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78632063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.348633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17589286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.373698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6425 KachelY 6194 1.78632063 -1.17589286 102.348633 -67.373698
    Oben rechts KachelX + 1 6426 KachelY 6194 1.78708762 -1.17589286 102.392578 -67.373698
    Unten links KachelX 6425 KachelY + 1 6195 1.78632063 -1.17618783 102.348633 -67.390599
    Unten rechts KachelX + 1 6426 KachelY + 1 6195 1.78708762 -1.17618783 102.392578 -67.390599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17589286--1.17618783) × R
    0.000294969999999894 × 6371000     		dl = 1879.25386999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17589286--1.17618783) × R
    0.000294969999999894 × 6371000     		dr = 1879.25386999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78632063-1.78708762) × cos(-1.17589286) × R
    0.000766990000000023 × 0.384719087198778 × 6371000     		do = 1879.92723813181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78632063-1.78708762) × cos(-1.17618783) × R
    0.000766990000000023 × 0.384446803213538 × 6371000     		du = 1878.59672426496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17589286)-sin(-1.17618783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384719087198778-0.384446803213538)×R²
    abs(1.78708762-1.78632063)×0.00027228398524004×R²
    0.000766990000000023×0.00027228398524004×6371000²
    0.000766990000000023×0.00027228398524004×40589641000000     		ar = 3531610.37651769m²