Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6424 / 6213
↖ ↑ ↗
← S 67.692771°
E102.304688°		 ← 1 854.78 m → S 67.692771°
E102.348633°		 →
↑
1 854.15 m
↓
↑
1 854.15 m
↓
S 67.709446°
E102.304688°		 ← 1 853.46 m →
3 437 825 m²		 S 67.709446°
E102.348633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78424072265625 y=0.75848388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78424072265625 × 213)
    floor (0.78424072265625 × 8192)
    floor (6424.5)     		tx = 6424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75848388671875 × 213)
    floor (0.75848388671875 × 8192)
    floor (6213.5)     		ty = 6213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6424 / 6213 ti = "13/6424/6213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6424/6213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6424 ÷ 213
    6424 ÷ 8192     		x = 0.7841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6213 ÷ 213
    6213 ÷ 8192     		y = 0.7584228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7841796875 × 2 - 1) × π
    0.568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78555364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7584228515625 × 2 - 1) × π
    -0.516845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62371866393054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78555364} λ = 1.78555364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62371866393054))-π/2
    2×atan(0.197164146952166)-π/2
    2×0.194667296963142-π/2
    0.389334593926285-1.57079632675     		φ = -1.18146173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78555364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.304688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18146173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.692771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6424 KachelY 6213 1.78555364 -1.18146173 102.304688 -67.692771
    Oben rechts KachelX + 1 6425 KachelY 6213 1.78632063 -1.18146173 102.348633 -67.692771
    Unten links KachelX 6424 KachelY + 1 6214 1.78555364 -1.18175276 102.304688 -67.709446
    Unten rechts KachelX + 1 6425 KachelY + 1 6214 1.78632063 -1.18175276 102.348633 -67.709446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18146173--1.18175276) × R
    0.000291029999999859 × 6371000     		dl = 1854.1521299991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18146173--1.18175276) × R
    0.000291029999999859 × 6371000     		dr = 1854.1521299991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78555364-1.78632063) × cos(-1.18146173) × R
    0.000766990000000023 × 0.379572893549339 × 6371000     		do = 1854.78039739479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78555364-1.78632063) × cos(-1.18175276) × R
    0.000766990000000023 × 0.379303627630067 × 6371000     		du = 1853.46463128704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18146173)-sin(-1.18175276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379572893549339-0.379303627630067)×R²
    abs(1.78632063-1.78555364)×0.000269265919272288×R²
    0.000766990000000023×0.000269265919272288×6371000²
    0.000766990000000023×0.000269265919272288×40589641000000     		ar = 3437825.23350736m²