Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6423 / 6255
↖ ↑ ↗
← S 68.382996°
E102.260742°		 ← 1 800.19 m → S 68.382996°
E102.304688°		 →
↑
1 799.55 m
↓
↑
1 799.55 m
↓
S 68.399180°
E102.260742°		 ← 1 798.90 m →
3 238 376 m²		 S 68.399180°
E102.304688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78411865234375 y=0.76361083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78411865234375 × 213)
    floor (0.78411865234375 × 8192)
    floor (6423.5)     		tx = 6423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76361083984375 × 213)
    floor (0.76361083984375 × 8192)
    floor (6255.5)     		ty = 6255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6423 / 6255 ti = "13/6423/6255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6423/6255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6423 ÷ 213
    6423 ÷ 8192     		x = 0.7840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6255 ÷ 213
    6255 ÷ 8192     		y = 0.7635498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7840576171875 × 2 - 1) × π
    0.568115234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78478665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7635498046875 × 2 - 1) × π
    -0.527099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65593226047522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78478665} λ = 1.78478665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65593226047522))-π/2
    2×atan(0.190913991148972)-π/2
    2×0.188643944144848-π/2
    0.377287888289696-1.57079632675     		φ = -1.19350844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78478665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.260742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19350844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.382996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6423 KachelY 6255 1.78478665 -1.19350844 102.260742 -68.382996
    Oben rechts KachelX + 1 6424 KachelY 6255 1.78555364 -1.19350844 102.304688 -68.382996
    Unten links KachelX 6423 KachelY + 1 6256 1.78478665 -1.19379090 102.260742 -68.399180
    Unten rechts KachelX + 1 6424 KachelY + 1 6256 1.78555364 -1.19379090 102.304688 -68.399180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19350844--1.19379090) × R
    0.000282459999999984 × 6371000     		dl = 1799.5526599999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19350844--1.19379090) × R
    0.000282459999999984 × 6371000     		dr = 1799.5526599999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78478665-1.78555364) × cos(-1.19350844) × R
    0.000766990000000023 × 0.36840046471671 × 6371000     		do = 1800.18639887114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78478665-1.78555364) × cos(-1.19379090) × R
    0.000766990000000023 × 0.368137856227506 × 6371000     		du = 1798.90316425075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19350844)-sin(-1.19379090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36840046471671-0.368137856227506)×R²
    abs(1.78555364-1.78478665)×0.000262608489203509×R²
    0.000766990000000023×0.000262608489203509×6371000²
    0.000766990000000023×0.000262608489203509×40589641000000     		ar = 3238375.61997787m²