Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6420 / 10548
↖ ↑ ↗
← S 45.890008°
W 38.935547°		 ← 1 700.61 m → S 45.890008°
W 38.913574°		 →
↑
1 700.36 m
↓
↑
1 700.36 m
↓
S 45.905300°
W 38.935547°		 ← 1 700.15 m →
2 891 253 m²		 S 45.905300°
W 38.913574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391876220703125 y=0.643829345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391876220703125 × 214)
    floor (0.391876220703125 × 16384)
    floor (6420.5)     		tx = 6420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643829345703125 × 214)
    floor (0.643829345703125 × 16384)
    floor (10548.5)     		ty = 10548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6420 / 10548 ti = "14/6420/10548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6420/10548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6420 ÷ 214
    6420 ÷ 16384     		x = 0.391845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10548 ÷ 214
    10548 ÷ 16384     		y = 0.643798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.391845703125 × 2 - 1) × π
    -0.21630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.67955349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643798828125 × 2 - 1) × π
    -0.28759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.903514684038818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67955349} λ = -0.67955349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.903514684038818))-π/2
    2×atan(0.40514320408572)-π/2
    2×0.384932295338581-π/2
    0.769864590677162-1.57079632675     		φ = -0.80093174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67955349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.935547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80093174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.890008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6420 KachelY 10548 -0.67955349 -0.80093174 -38.935547 -45.890008
    Oben rechts KachelX + 1 6421 KachelY 10548 -0.67916999 -0.80093174 -38.913574 -45.890008
    Unten links KachelX 6420 KachelY + 1 10549 -0.67955349 -0.80119863 -38.935547 -45.905300
    Unten rechts KachelX + 1 6421 KachelY + 1 10549 -0.67916999 -0.80119863 -38.913574 -45.905300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80093174--0.80119863) × R
    0.00026689000000002 × 6371000     		dl = 1700.35619000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80093174--0.80119863) × R
    0.00026689000000002 × 6371000     		dr = 1700.35619000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67955349--0.67916999) × cos(-0.80093174) × R
    0.000383499999999981 × 0.69603801766048 × 6371000     		do = 1700.61472373239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67955349--0.67916999) × cos(-0.80119863) × R
    0.000383499999999981 × 0.695846364537783 × 6371000     		du = 1700.14646177825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80093174)-sin(-0.80119863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69603801766048-0.695846364537783)×R²
    abs(-0.67916999--0.67955349)×0.000191653122696311×R²
    0.000383499999999981×0.000191653122696311×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191653122696311×40589641000000     		ar = 2891252.68341075m²