Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6419 / 6193
↖ ↑ ↗
← S 67.356785°
E102.084961°		 ← 1 881.26 m → S 67.356785°
E102.128907°		 →
↑
1 880.59 m
↓
↑
1 880.59 m
↓
S 67.373698°
E102.084961°		 ← 1 879.93 m →
3 536 628 m²		 S 67.373698°
E102.128907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78363037109375 y=0.75604248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78363037109375 × 213)
    floor (0.78363037109375 × 8192)
    floor (6419.5)     		tx = 6419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75604248046875 × 213)
    floor (0.75604248046875 × 8192)
    floor (6193.5)     		ty = 6193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6419 / 6193 ti = "13/6419/6193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6419/6193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6419 ÷ 213
    6419 ÷ 8192     		x = 0.7835693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6193 ÷ 213
    6193 ÷ 8192     		y = 0.7559814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7835693359375 × 2 - 1) × π
    0.567138671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78171869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7559814453125 × 2 - 1) × π
    -0.511962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60837885605212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78171869} λ = 1.78171869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60837885605212))-π/2
    2×atan(0.200211923476042)-π/2
    2×0.197599324115864-π/2
    0.395198648231729-1.57079632675     		φ = -1.17559768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78171869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.084961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17559768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.356785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6419 KachelY 6193 1.78171869 -1.17559768 102.084961 -67.356785
    Oben rechts KachelX + 1 6420 KachelY 6193 1.78248568 -1.17559768 102.128907 -67.356785
    Unten links KachelX 6419 KachelY + 1 6194 1.78171869 -1.17589286 102.084961 -67.373698
    Unten rechts KachelX + 1 6420 KachelY + 1 6194 1.78248568 -1.17589286 102.128907 -67.373698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17559768--1.17589286) × R
    0.00029517999999995 × 6371000     		dl = 1880.59177999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17559768--1.17589286) × R
    0.00029517999999995 × 6371000     		dr = 1880.59177999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78171869-1.78248568) × cos(-1.17559768) × R
    0.000766990000000023 × 0.384991531523879 × 6371000     		do = 1881.25853549832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78171869-1.78248568) × cos(-1.17589286) × R
    0.000766990000000023 × 0.384719087198778 × 6371000     		du = 1879.92723813181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17559768)-sin(-1.17589286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384991531523879-0.384719087198778)×R²
    abs(1.78248568-1.78171869)×0.000272444325101484×R²
    0.000766990000000023×0.000272444325101484×6371000²
    0.000766990000000023×0.000272444325101484×40589641000000     		ar = 3536627.55014985m²