Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6414 / 6189
↖ ↑ ↗
← S 67.289015°
E101.865234°		 ← 1 886.59 m → S 67.289015°
E101.909179°		 →
↑
1 885.88 m
↓
↑
1 885.88 m
↓
S 67.305976°
E101.865234°		 ← 1 885.26 m →
3 556 626 m²		 S 67.305976°
E101.909179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78302001953125 y=0.75555419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78302001953125 × 213)
    floor (0.78302001953125 × 8192)
    floor (6414.5)     		tx = 6414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75555419921875 × 213)
    floor (0.75555419921875 × 8192)
    floor (6189.5)     		ty = 6189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6414 / 6189 ti = "13/6414/6189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6414/6189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6414 ÷ 213
    6414 ÷ 8192     		x = 0.782958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6189 ÷ 213
    6189 ÷ 8192     		y = 0.7554931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782958984375 × 2 - 1) × π
    0.56591796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77788373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.510986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60531089447644
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77788373} λ = 1.77788373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60531089447644))-π/2
    2×atan(0.200827109164758)-π/2
    2×0.198190730476659-π/2
    0.396381460953317-1.57079632675     		φ = -1.17441487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77788373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.865234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17441487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.289015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6414 KachelY 6189 1.77788373 -1.17441487 101.865234 -67.289015
    Oben rechts KachelX + 1 6415 KachelY 6189 1.77865072 -1.17441487 101.909179 -67.289015
    Unten links KachelX 6414 KachelY + 1 6190 1.77788373 -1.17471088 101.865234 -67.305976
    Unten rechts KachelX + 1 6415 KachelY + 1 6190 1.77865072 -1.17471088 101.909179 -67.305976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17441487--1.17471088) × R
    0.000296009999999791 × 6371000     		dl = 1885.87970999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17441487--1.17471088) × R
    0.000296009999999791 × 6371000     		dr = 1885.87970999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77788373-1.77865072) × cos(-1.17441487) × R
    0.000766989999999801 × 0.386082901089869 × 6371000     		do = 1886.59150555889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77788373-1.77865072) × cos(-1.17471088) × R
    0.000766989999999801 × 0.385809825584531 × 6371000     		du = 1885.25712393439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17441487)-sin(-1.17471088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386082901089869-0.385809825584531)×R²
    abs(1.77865072-1.77788373)×0.000273075505337228×R²
    0.000766989999999801×0.000273075505337228×6371000²
    0.000766989999999801×0.000273075505337228×40589641000000     		ar = 3556626.42574262m²