Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6410 / 6212
↖ ↑ ↗
← S 67.676085°
E101.689453°		 ← 1 856.10 m → S 67.676085°
E101.733398°		 →
↑
1 855.43 m
↓
↑
1 855.43 m
↓
S 67.692771°
E101.689453°		 ← 1 854.78 m →
3 442 630 m²		 S 67.692771°
E101.733398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78253173828125 y=0.75836181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78253173828125 × 213)
    floor (0.78253173828125 × 8192)
    floor (6410.5)     		tx = 6410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75836181640625 × 213)
    floor (0.75836181640625 × 8192)
    floor (6212.5)     		ty = 6212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6410 / 6212 ti = "13/6410/6212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6410/6212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6410 ÷ 213
    6410 ÷ 8192     		x = 0.782470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6212 ÷ 213
    6212 ÷ 8192     		y = 0.75830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782470703125 × 2 - 1) × π
    0.56494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77481577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75830078125 × 2 - 1) × π
    -0.5166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62295167353662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77481577} λ = 1.77481577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62295167353662))-π/2
    2×atan(0.197315427967031)-π/2
    2×0.194812912999389-π/2
    0.389625825998778-1.57079632675     		φ = -1.18117050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77481577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.689453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18117050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.676085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6410 KachelY 6212 1.77481577 -1.18117050 101.689453 -67.676085
    Oben rechts KachelX + 1 6411 KachelY 6212 1.77558276 -1.18117050 101.733398 -67.676085
    Unten links KachelX 6410 KachelY + 1 6213 1.77481577 -1.18146173 101.689453 -67.692771
    Unten rechts KachelX + 1 6411 KachelY + 1 6213 1.77558276 -1.18146173 101.733398 -67.692771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18117050--1.18146173) × R
    0.000291230000000198 × 6371000     		dl = 1855.42633000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18117050--1.18146173) × R
    0.000291230000000198 × 6371000     		dr = 1855.42633000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77481577-1.77558276) × cos(-1.18117050) × R
    0.000766990000000023 × 0.37984231232963 × 6371000     		do = 1856.09691045688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77481577-1.77558276) × cos(-1.18146173) × R
    0.000766990000000023 × 0.379572893549339 × 6371000     		du = 1854.78039739479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18117050)-sin(-1.18146173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37984231232963-0.379572893549339)×R²
    abs(1.77558276-1.77481577)×0.000269418780290853×R²
    0.000766990000000023×0.000269418780290853×6371000²
    0.000766990000000023×0.000269418780290853×40589641000000     		ar = 3442629.75653097m²