Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64035 / 32416
↖ ↑ ↗
← N 66.895596°
W  4.122620°		 ← 119.85 m → N 66.895596°
W  4.119873°		 →
↑
119.84 m
↓
↑
119.84 m
↓
N 66.894518°
W  4.122620°		 ← 119.86 m →
14 363 m²		 N 66.894518°
W  4.119873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488552093505859 y=0.247318267822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488552093505859 × 217)
    floor (0.488552093505859 × 131072)
    floor (64035.5)     		tx = 64035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247318267822266 × 217)
    floor (0.247318267822266 × 131072)
    floor (32416.5)     		ty = 32416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64035 / 32416 ti = "17/64035/32416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64035/32416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64035 ÷ 217
    64035 ÷ 131072     		x = 0.488548278808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32416 ÷ 217
    32416 ÷ 131072     		y = 0.247314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.488548278808594 × 2 - 1) × π
    -0.0229034423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.07195329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247314453125 × 2 - 1) × π
    0.50537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.58767011541626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07195329} λ = -0.07195329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58767011541626))-π/2
    2×atan(4.89233705862794)-π/2
    2×1.36917236263941-π/2
    2.73834472527881-1.57079632675     		φ = 1.16754840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07195329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.122620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16754840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.895596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64035 KachelY 32416 -0.07195329 1.16754840 -4.122620 66.895596
    Oben rechts KachelX + 1 64036 KachelY 32416 -0.07190535 1.16754840 -4.119873 66.895596
    Unten links KachelX 64035 KachelY + 1 32417 -0.07195329 1.16752959 -4.122620 66.894518
    Unten rechts KachelX + 1 64036 KachelY + 1 32417 -0.07190535 1.16752959 -4.119873 66.894518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16754840-1.16752959) × R
    1.88100000000357e-05 × 6371000     		dl = 119.838510000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16754840-1.16752959) × R
    1.88100000000357e-05 × 6371000     		dr = 119.838510000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07195329--0.07190535) × cos(1.16754840) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.392407821740388 × 6371000     		do = 119.851449336837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07195329--0.07190535) × cos(1.16752959) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.392425122945994 × 6371000     		du = 119.856733570362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16754840)-sin(1.16752959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392407821740388-0.392425122945994)×R²
    abs(-0.07190535--0.07195329)×1.73012056055577e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.73012056055577e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.73012056055577e-05×40589641000000     		ar = 14363.1357377128m²