Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64034 / 32415
↖ ↑ ↗
← N 66.896673°
W  4.125366°		 ← 119.82 m → N 66.896673°
W  4.122620°		 →
↑
119.84 m
↓
↑
119.84 m
↓
N 66.895596°
W  4.125366°		 ← 119.83 m →
14 360 m²		 N 66.895596°
W  4.122620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488544464111328 y=0.247310638427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488544464111328 × 217)
    floor (0.488544464111328 × 131072)
    floor (64034.5)     		tx = 64034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247310638427734 × 217)
    floor (0.247310638427734 × 131072)
    floor (32415.5)     		ty = 32415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64034 / 32415 ti = "17/64034/32415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64034/32415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64034 ÷ 217
    64034 ÷ 131072     		x = 0.488540649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32415 ÷ 217
    32415 ÷ 131072     		y = 0.247306823730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.488540649414062 × 2 - 1) × π
    -0.022918701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.07200122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247306823730469 × 2 - 1) × π
    0.505386352539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.58771805231588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07200122} λ = -0.07200122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58771805231588))-π/2
    2×atan(4.89257158771968)-π/2
    2×1.36918176783927-π/2
    2.73836353567854-1.57079632675     		φ = 1.16756721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07200122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.125366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16756721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.896673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64034 KachelY 32415 -0.07200122 1.16756721 -4.125366 66.896673
    Oben rechts KachelX + 1 64035 KachelY 32415 -0.07195329 1.16756721 -4.122620 66.896673
    Unten links KachelX 64034 KachelY + 1 32416 -0.07200122 1.16754840 -4.125366 66.895596
    Unten rechts KachelX + 1 64035 KachelY + 1 32416 -0.07195329 1.16754840 -4.122620 66.895596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16756721-1.16754840) × R
    1.88100000000357e-05 × 6371000     		dl = 119.838510000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16756721-1.16754840) × R
    1.88100000000357e-05 × 6371000     		dr = 119.838510000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07200122--0.07195329) × cos(1.16756721) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.392390520395943 × 6371000     		do = 119.821165860865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07200122--0.07195329) × cos(1.16754840) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.392407821740388 × 6371000     		du = 119.826449034527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16756721)-sin(1.16754840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392390520395943-0.392407821740388)×R²
    abs(-0.07195329--0.07200122)×1.73013444457193e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.73013444457193e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.73013444457193e-05×40589641000000     		ar = 14359.506547515m²