Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6403 / 6203
↖ ↑ ↗
← S 67.525374°
E101.381836°		 ← 1 867.98 m → S 67.525374°
E101.425781°		 →
↑
1 867.28 m
↓
↑
1 867.28 m
↓
S 67.542167°
E101.381836°		 ← 1 866.66 m →
3 486 800 m²		 S 67.542167°
E101.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78167724609375 y=0.75726318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78167724609375 × 213)
    floor (0.78167724609375 × 8192)
    floor (6403.5)     		tx = 6403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75726318359375 × 213)
    floor (0.75726318359375 × 8192)
    floor (6203.5)     		ty = 6203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6403 / 6203 ti = "13/6403/6203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6403/6203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6403 ÷ 213
    6403 ÷ 8192     		x = 0.7816162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6203 ÷ 213
    6203 ÷ 8192     		y = 0.7572021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7816162109375 × 2 - 1) × π
    0.563232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76944684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7572021484375 × 2 - 1) × π
    -0.514404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61604875999133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76944684} λ = 1.76944684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61604875999133))-π/2
    2×atan(0.198682191204462)-π/2
    2×0.196128115484731-π/2
    0.392256230969463-1.57079632675     		φ = -1.17854010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76944684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.381836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17854010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.525374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6403 KachelY 6203 1.76944684 -1.17854010 101.381836 -67.525374
    Oben rechts KachelX + 1 6404 KachelY 6203 1.77021383 -1.17854010 101.425781 -67.525374
    Unten links KachelX 6403 KachelY + 1 6204 1.76944684 -1.17883319 101.381836 -67.542167
    Unten rechts KachelX + 1 6404 KachelY + 1 6204 1.77021383 -1.17883319 101.425781 -67.542167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17854010--1.17883319) × R
    0.000293089999999996 × 6371000     		dl = 1867.27638999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17854010--1.17883319) × R
    0.000293089999999996 × 6371000     		dr = 1867.27638999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76944684-1.77021383) × cos(-1.17854010) × R
    0.000766990000000023 × 0.382274250270919 × 6371000     		do = 1867.98055888868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76944684-1.77021383) × cos(-1.17883319) × R
    0.000766990000000023 × 0.382003404359244 × 6371000     		du = 1866.65707215866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17854010)-sin(-1.17883319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382274250270919-0.382003404359244)×R²
    abs(1.77021383-1.76944684)×0.00027084591167531×R²
    0.000766990000000023×0.00027084591167531×6371000²
    0.000766990000000023×0.00027084591167531×40589641000000     		ar = 3486800.36179085m²