Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6400 / 6011
↖ ↑ ↗
← S 64.072199°
E101.250000°		 ← 2 136.56 m → S 64.072199°
E101.293945°		 →
↑
2 135.81 m
↓
↑
2 135.81 m
↓
S 64.091407°
E101.250000°		 ← 2 135.09 m →
4 561 725 m²		 S 64.091407°
E101.293945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78131103515625 y=0.73382568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78131103515625 × 213)
    floor (0.78131103515625 × 8192)
    floor (6400.5)     		tx = 6400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73382568359375 × 213)
    floor (0.73382568359375 × 8192)
    floor (6011.5)     		ty = 6011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6400 / 6011 ti = "13/6400/6011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6400/6011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6400 ÷ 213
    6400 ÷ 8192     		x = 0.78125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6011 ÷ 213
    6011 ÷ 8192     		y = 0.7337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78125 × 2 - 1) × π
    0.5625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76714587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7337646484375 × 2 - 1) × π
    -0.467529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46878660435852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76714587} λ = 1.76714587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46878660435852))-π/2
    2×atan(0.230204645099774)-π/2
    2×0.226262742585244-π/2
    0.452525485170488-1.57079632675     		φ = -1.11827084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76714587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11827084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.072199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6400 KachelY 6011 1.76714587 -1.11827084 101.250000 -64.072199
    Oben rechts KachelX + 1 6401 KachelY 6011 1.76791286 -1.11827084 101.293945 -64.072199
    Unten links KachelX 6400 KachelY + 1 6012 1.76714587 -1.11860608 101.250000 -64.091407
    Unten rechts KachelX + 1 6401 KachelY + 1 6012 1.76791286 -1.11860608 101.293945 -64.091407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11827084--1.11860608) × R
    0.000335239999999848 × 6371000     		dl = 2135.81403999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11827084--1.11860608) × R
    0.000335239999999848 × 6371000     		dr = 2135.81403999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76714587-1.76791286) × cos(-1.11827084) × R
    0.000766990000000023 × 0.437238211837838 × 6371000     		do = 2136.56158827726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76714587-1.76791286) × cos(-1.11860608) × R
    0.000766990000000023 × 0.436936690610512 × 6371000     		du = 2135.08820682314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11827084)-sin(-1.11860608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437238211837838-0.436936690610512)×R²
    abs(1.76791286-1.76714587)×0.000301521227326129×R²
    0.000766990000000023×0.000301521227326129×6371000²
    0.000766990000000023×0.000301521227326129×40589641000000     		ar = 4561724.84589021m²