Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 640 / 387
↖ ↑ ↗
← N 81.052297°
W123.750000°		 ← 1 520.02 m → N 81.052297°
W123.662109°		 →
↑
1 521.14 m
↓
↑
1 521.14 m
↓
N 81.038617°
W123.750000°		 ← 1 522.33 m →
2 313 917 m²		 N 81.038617°
W123.662109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1563720703125 y=0.0946044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1563720703125 × 212)
    floor (0.1563720703125 × 4096)
    floor (640.5)     		tx = 640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0946044921875 × 212)
    floor (0.0946044921875 × 4096)
    floor (387.5)     		ty = 387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 640 / 387 ti = "12/640/387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/640/387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 640 ÷ 212
    640 ÷ 4096     		x = 0.15625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 387 ÷ 212
    387 ÷ 4096     		y = 0.094482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15625 × 2 - 1) × π
    -0.6875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15984495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.094482421875 × 2 - 1) × π
    0.81103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.54794208860522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15984495} λ = -2.15984495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54794208860522))-π/2
    2×atan(12.7807749982992)-π/2
    2×1.49271289034017-π/2
    2.98542578068034-1.57079632675     		φ = 1.41462945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15984495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41462945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.052297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 640 KachelY 387 -2.15984495 1.41462945 -123.750000 81.052297
    Oben rechts KachelX + 1 641 KachelY 387 -2.15831097 1.41462945 -123.662109 81.052297
    Unten links KachelX 640 KachelY + 1 388 -2.15984495 1.41439069 -123.750000 81.038617
    Unten rechts KachelX + 1 641 KachelY + 1 388 -2.15831097 1.41439069 -123.662109 81.038617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41462945-1.41439069) × R
    0.000238760000000005 × 6371000     		dl = 1521.13996000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41462945-1.41439069) × R
    0.000238760000000005 × 6371000     		dr = 1521.13996000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15984495--2.15831097) × cos(1.41462945) × R
    0.00153398000000005 × 0.155532881655793 × 6371000     		do = 1520.02076517084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15984495--2.15831097) × cos(1.41439069) × R
    0.00153398000000005 × 0.155768731682034 × 6371000     		du = 1522.32572431219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41462945)-sin(1.41439069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155532881655793-0.155768731682034)×R²
    abs(-2.15831097--2.15984495)×0.000235850026240797×R²
    0.00153398000000005×0.000235850026240797×6371000²
    0.00153398000000005×0.000235850026240797×40589641000000     		ar = 2313917.41964511m²