Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6399 / 6027
↖ ↑ ↗
← S 64.377941°
E101.206055°		 ← 2 113.08 m → S 64.377941°
E101.250000°		 →
↑
2 112.31 m
↓
↑
2 112.31 m
↓
S 64.396938°
E101.206055°		 ← 2 111.62 m →
4 461 928 m²		 S 64.396938°
E101.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78118896484375 y=0.73577880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78118896484375 × 213)
    floor (0.78118896484375 × 8192)
    floor (6399.5)     		tx = 6399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73577880859375 × 213)
    floor (0.73577880859375 × 8192)
    floor (6027.5)     		ty = 6027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6399 / 6027 ti = "13/6399/6027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6399/6027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6399 ÷ 213
    6399 ÷ 8192     		x = 0.7811279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6027 ÷ 213
    6027 ÷ 8192     		y = 0.7357177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7811279296875 × 2 - 1) × π
    0.562255859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76637888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7357177734375 × 2 - 1) × π
    -0.471435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48105845066125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76637888} λ = 1.76637888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48105845066125))-π/2
    2×atan(0.227396872590317)-π/2
    2×0.223594645779962-π/2
    0.447189291559924-1.57079632675     		φ = -1.12360704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76637888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.206055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12360704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.377941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6399 KachelY 6027 1.76637888 -1.12360704 101.206055 -64.377941
    Oben rechts KachelX + 1 6400 KachelY 6027 1.76714587 -1.12360704 101.250000 -64.377941
    Unten links KachelX 6399 KachelY + 1 6028 1.76637888 -1.12393859 101.206055 -64.396938
    Unten rechts KachelX + 1 6400 KachelY + 1 6028 1.76714587 -1.12393859 101.250000 -64.396938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12360704--1.12393859) × R
    0.000331550000000069 × 6371000     		dl = 2112.30505000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12360704--1.12393859) × R
    0.000331550000000069 × 6371000     		dr = 2112.30505000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76637888-1.76714587) × cos(-1.12360704) × R
    0.000766990000000023 × 0.432432920746171 × 6371000     		do = 2113.08056560133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76637888-1.76714587) × cos(-1.12393859) × R
    0.000766990000000023 × 0.432133949586091 × 6371000     		du = 2111.6196450337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12360704)-sin(-1.12393859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432432920746171-0.432133949586091)×R²
    abs(1.76714587-1.76637888)×0.000298971160079819×R²
    0.000766990000000023×0.000298971160079819×6371000²
    0.000766990000000023×0.000298971160079819×40589641000000     		ar = 4461927.83570517m²