Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 6396 / 6900
↖ ↑ ↗
← N 80.426676°
W144.865722°		 ← 101.58 m → N 80.426676°
W144.860230°		 →
↑
101.55 m
↓
↑
101.55 m
↓
N 80.425763°
W144.865722°		 ← 101.59 m →
10 316 m²		 N 80.425763°
W144.860230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.0976028442382812 y=0.105293273925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.0976028442382812 × 216)
    floor (0.0976028442382812 × 65536)
    floor (6396.5)     		tx = 6396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105293273925781 × 216)
    floor (0.105293273925781 × 65536)
    floor (6900.5)     		ty = 6900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6396 / 6900 ti = "16/6396/6900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6396/6900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6396 ÷ 216
    6396 ÷ 65536     		x = 0.09759521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6900 ÷ 216
    6900 ÷ 65536     		y = 0.10528564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.09759521484375 × 2 - 1) × π
    -0.8048095703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.52838383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10528564453125 × 2 - 1) × π
    0.7894287109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48006343874323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.52838383} λ = -2.52838383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48006343874323))-π/2
    2×atan(11.9420219806855)-π/2
    2×1.4872533187241-π/2
    2.97450663744819-1.57079632675     		φ = 1.40371031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.52838383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -144.865722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40371031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.426676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6396 KachelY 6900 -2.52838383 1.40371031 -144.865722 80.426676
    Oben rechts KachelX + 1 6397 KachelY 6900 -2.52828796 1.40371031 -144.860230 80.426676
    Unten links KachelX 6396 KachelY + 1 6901 -2.52838383 1.40369437 -144.865722 80.425763
    Unten rechts KachelX + 1 6397 KachelY + 1 6901 -2.52828796 1.40369437 -144.860230 80.425763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40371031-1.40369437) × R
    1.59399999999366e-05 × 6371000     		dl = 101.553739999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40371031-1.40369437) × R
    1.59399999999366e-05 × 6371000     		dr = 101.553739999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.52838383--2.52828796) × cos(1.40371031) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166309657385111 × 6371000     		do = 101.579904763714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.52838383--2.52828796) × cos(1.40369437) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166325375376788 × 6371000     		du = 101.589505120799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40371031)-sin(1.40369437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166309657385111-0.166325375376788)×R²
    abs(-2.52828796--2.52838383)×1.57179916770722e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.57179916770722e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.57179916770722e-05×40589641000000     		ar = 10316.3067141259m²