Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63954 / 76850
↖ ↑ ↗
← S 29.654642°
W  4.345093°		 ← 265.42 m → S 29.654642°
W  4.342346°		 →
↑
265.42 m
↓
↑
265.42 m
↓
S 29.657029°
W  4.345093°		 ← 265.42 m →
70 446 m²		 S 29.657029°
W  4.342346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487934112548828 y=0.586322784423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487934112548828 × 217)
    floor (0.487934112548828 × 131072)
    floor (63954.5)     		tx = 63954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586322784423828 × 217)
    floor (0.586322784423828 × 131072)
    floor (76850.5)     		ty = 76850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63954 / 76850 ti = "17/63954/76850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63954/76850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63954 ÷ 217
    63954 ÷ 131072     		x = 0.487930297851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76850 ÷ 217
    76850 ÷ 131072     		y = 0.586318969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.487930297851562 × 2 - 1) × π
    -0.024139404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.07583618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586318969726562 × 2 - 1) × π
    -0.172637939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.542358082301315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07583618} λ = -0.07583618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.542358082301315))-π/2
    2×atan(0.581375702962193)-π/2
    2×0.526612588518231-π/2
    1.05322517703646-1.57079632675     		φ = -0.51757115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07583618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.345093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51757115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.654642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63954 KachelY 76850 -0.07583618 -0.51757115 -4.345093 -29.654642
    Oben rechts KachelX + 1 63955 KachelY 76850 -0.07578824 -0.51757115 -4.342346 -29.654642
    Unten links KachelX 63954 KachelY + 1 76851 -0.07583618 -0.51761281 -4.345093 -29.657029
    Unten rechts KachelX + 1 63955 KachelY + 1 76851 -0.07578824 -0.51761281 -4.342346 -29.657029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51757115--0.51761281) × R
    4.16600000000544e-05 × 6371000     		dl = 265.415860000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51757115--0.51761281) × R
    4.16600000000544e-05 × 6371000     		dr = 265.415860000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07583618--0.07578824) × cos(-0.51757115) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.869023466046925 × 6371000     		do = 265.422135194727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07583618--0.07578824) × cos(-0.51761281) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.869002853138298 × 6371000     		du = 265.415839481856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51757115)-sin(-0.51761281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869023466046925-0.869002853138298)×R²
    abs(-0.07578824--0.07583618)×2.06129086274265e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.06129086274265e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.06129086274265e-05×40589641000000     		ar = 70446.4087950433m²