Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63935 / 76863
↖ ↑ ↗
← S 29.685666°
W  4.397278°		 ← 265.34 m → S 29.685666°
W  4.394531°		 →
↑
265.35 m
↓
↑
265.35 m
↓
S 29.688053°
W  4.397278°		 ← 265.33 m →
70 408 m²		 S 29.688053°
W  4.394531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487789154052734 y=0.586421966552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487789154052734 × 217)
    floor (0.487789154052734 × 131072)
    floor (63935.5)     		tx = 63935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586421966552734 × 217)
    floor (0.586421966552734 × 131072)
    floor (76863.5)     		ty = 76863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63935 / 76863 ti = "17/63935/76863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63935/76863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63935 ÷ 217
    63935 ÷ 131072     		x = 0.487785339355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76863 ÷ 217
    76863 ÷ 131072     		y = 0.586418151855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.487785339355469 × 2 - 1) × π
    -0.0244293212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.07674698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586418151855469 × 2 - 1) × π
    -0.172836303710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.542981261996376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07674698} λ = -0.07674698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.542981261996376))-π/2
    2×atan(0.581013514294938)-π/2
    2×0.526341851382633-π/2
    1.05268370276527-1.57079632675     		φ = -0.51811262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07674698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.397278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51811262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.685666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63935 KachelY 76863 -0.07674698 -0.51811262 -4.397278 -29.685666
    Oben rechts KachelX + 1 63936 KachelY 76863 -0.07669904 -0.51811262 -4.394531 -29.685666
    Unten links KachelX 63935 KachelY + 1 76864 -0.07674698 -0.51815427 -4.397278 -29.688053
    Unten rechts KachelX + 1 63936 KachelY + 1 76864 -0.07669904 -0.51815427 -4.394531 -29.688053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51811262--0.51815427) × R
    4.16500000000042e-05 × 6371000     		dl = 265.352150000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51811262--0.51815427) × R
    4.16500000000042e-05 × 6371000     		dr = 265.352150000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07674698--0.07669904) × cos(-0.51811262) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.868755435081742 × 6371000     		do = 265.340271638919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07674698--0.07669904) × cos(-0.51815427) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.868734807526026 × 6371000     		du = 265.333971452451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51811262)-sin(-0.51815427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868755435081742-0.868734807526026)×R²
    abs(-0.07669904--0.07674698)×2.06275557154134e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.06275557154134e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.06275557154134e-05×40589641000000     		ar = 70407.7756871435m²