Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6393 / 6063
↖ ↑ ↗
← S 65.053602°
E100.942383°		 ← 2 061 m → S 65.053602°
E100.986328°		 →
↑
2 060.25 m
↓
↑
2 060.25 m
↓
S 65.072130°
E100.942383°		 ← 2 059.57 m →
4 244 716 m²		 S 65.072130°
E100.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78045654296875 y=0.74017333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78045654296875 × 213)
    floor (0.78045654296875 × 8192)
    floor (6393.5)     		tx = 6393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74017333984375 × 213)
    floor (0.74017333984375 × 8192)
    floor (6063.5)     		ty = 6063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6393 / 6063 ti = "13/6393/6063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6393/6063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6393 ÷ 213
    6393 ÷ 8192     		x = 0.7803955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6063 ÷ 213
    6063 ÷ 8192     		y = 0.7401123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7803955078125 × 2 - 1) × π
    0.560791015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76177693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7401123046875 × 2 - 1) × π
    -0.480224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50867010484241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76177693} λ = 1.76177693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50867010484241))-π/2
    2×atan(0.221203960508986)-π/2
    2×0.217698393381584-π/2
    0.435396786763169-1.57079632675     		φ = -1.13539954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76177693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.942383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13539954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.053602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6393 KachelY 6063 1.76177693 -1.13539954 100.942383 -65.053602
    Oben rechts KachelX + 1 6394 KachelY 6063 1.76254393 -1.13539954 100.986328 -65.053602
    Unten links KachelX 6393 KachelY + 1 6064 1.76177693 -1.13572292 100.942383 -65.072130
    Unten rechts KachelX + 1 6394 KachelY + 1 6064 1.76254393 -1.13572292 100.986328 -65.072130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13539954--1.13572292) × R
    0.000323379999999984 × 6371000     		dl = 2060.2539799999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13539954--1.13572292) × R
    0.000323379999999984 × 6371000     		dr = 2060.2539799999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76177693-1.76254393) × cos(-1.13539954) × R
    0.000767000000000184 × 0.421770202241302 × 6371000     		do = 2061.00413415414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76177693-1.76254393) × cos(-1.13572292) × R
    0.000767000000000184 × 0.421476970654384 × 6371000     		du = 2059.57124129047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13539954)-sin(-1.13572292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421770202241302-0.421476970654384)×R²
    abs(1.76254393-1.76177693)×0.000293231586917686×R²
    0.000767000000000184×0.000293231586917686×6371000²
    0.000767000000000184×0.000293231586917686×40589641000000     		ar = 4244715.94556418m²