Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63923 / 76885
↖ ↑ ↗
← S 29.738147°
W  4.430237°		 ← 265.20 m → S 29.738147°
W  4.427490°		 →
↑
265.22 m
↓
↑
265.22 m
↓
S 29.740532°
W  4.430237°		 ← 265.20 m →
70 337 m²		 S 29.740532°
W  4.427490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487697601318359 y=0.586589813232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487697601318359 × 217)
    floor (0.487697601318359 × 131072)
    floor (63923.5)     		tx = 63923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586589813232422 × 217)
    floor (0.586589813232422 × 131072)
    floor (76885.5)     		ty = 76885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63923 / 76885 ti = "17/63923/76885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63923/76885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63923 ÷ 217
    63923 ÷ 131072     		x = 0.487693786621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76885 ÷ 217
    76885 ÷ 131072     		y = 0.586585998535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.487693786621094 × 2 - 1) × π
    -0.0246124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.07732222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586585998535156 × 2 - 1) × π
    -0.173171997070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.544035873788017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07732222} λ = -0.07732222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544035873788017))-π/2
    2×atan(0.580401093581474)-π/2
    2×0.52588387119385-π/2
    1.0517677423877-1.57079632675     		φ = -0.51902858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07732222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.430237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51902858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.738147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63923 KachelY 76885 -0.07732222 -0.51902858 -4.430237 -29.738147
    Oben rechts KachelX + 1 63924 KachelY 76885 -0.07727428 -0.51902858 -4.427490 -29.738147
    Unten links KachelX 63923 KachelY + 1 76886 -0.07732222 -0.51907021 -4.430237 -29.740532
    Unten rechts KachelX + 1 63924 KachelY + 1 76886 -0.07727428 -0.51907021 -4.427490 -29.740532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51902858--0.51907021) × R
    4.16300000000147e-05 × 6371000     		dl = 265.224730000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51902858--0.51907021) × R
    4.16300000000147e-05 × 6371000     		dr = 265.224730000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07732222--0.07727428) × cos(-0.51902858) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.86830144944353 × 6371000     		do = 265.201612739342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07732222--0.07727428) × cos(-0.51907021) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.868280798675538 × 6371000     		du = 265.195305463247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51902858)-sin(-0.51907021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86830144944353-0.868280798675538)×R²
    abs(-0.07727428--0.07732222)×2.06507679921808e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.06507679921808e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.06507679921808e-05×40589641000000     		ar = 70337.1897217322m²