Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6392 / 6179
↖ ↑ ↗
← S 67.118748°
E100.898437°		 ← 1 899.98 m → S 67.118748°
E100.942383°		 →
↑
1 899.32 m
↓
↑
1 899.32 m
↓
S 67.135829°
E100.898437°		 ← 1 898.64 m →
3 607 397 m²		 S 67.135829°
E100.942383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78033447265625 y=0.75433349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78033447265625 × 213)
    floor (0.78033447265625 × 8192)
    floor (6392.5)     		tx = 6392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75433349609375 × 213)
    floor (0.75433349609375 × 8192)
    floor (6179.5)     		ty = 6179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6392 / 6179 ti = "13/6392/6179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6392/6179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6392 ÷ 213
    6392 ÷ 8192     		x = 0.7802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6179 ÷ 213
    6179 ÷ 8192     		y = 0.7542724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7802734375 × 2 - 1) × π
    0.560546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76100994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7542724609375 × 2 - 1) × π
    -0.508544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59764099053723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76100994} λ = 1.76100994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59764099053723))-π/2
    2×atan(0.202373356002661)-π/2
    2×0.199676587876887-π/2
    0.399353175753774-1.57079632675     		φ = -1.17144315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76100994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.898437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17144315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.118748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6392 KachelY 6179 1.76100994 -1.17144315 100.898437 -67.118748
    Oben rechts KachelX + 1 6393 KachelY 6179 1.76177693 -1.17144315 100.942383 -67.118748
    Unten links KachelX 6392 KachelY + 1 6180 1.76100994 -1.17174127 100.898437 -67.135829
    Unten rechts KachelX + 1 6393 KachelY + 1 6180 1.76177693 -1.17174127 100.942383 -67.135829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17144315--1.17174127) × R
    0.000298120000000068 × 6371000     		dl = 1899.32252000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17144315--1.17174127) × R
    0.000298120000000068 × 6371000     		dr = 1899.32252000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76100994-1.76177693) × cos(-1.17144315) × R
    0.000766989999999801 × 0.388822497263486 × 6371000     		do = 1899.97852387857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76100994-1.76177693) × cos(-1.17174127) × R
    0.000766989999999801 × 0.388547818251162 × 6371000     		du = 1898.63630672795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17144315)-sin(-1.17174127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388822497263486-0.388547818251162)×R²
    abs(1.76177693-1.76100994)×0.000274679012323809×R²
    0.000766989999999801×0.000274679012323809×6371000²
    0.000766989999999801×0.000274679012323809×40589641000000     		ar = 3607397.37300857m²