Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63887 / 76919
↖ ↑ ↗
← S 29.819200°
W  4.529114°		 ← 264.99 m → S 29.819200°
W  4.526367°		 →
↑
264.97 m
↓
↑
264.97 m
↓
S 29.821583°
W  4.529114°		 ← 264.98 m →
70 213 m²		 S 29.821583°
W  4.526367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487422943115234 y=0.586849212646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487422943115234 × 217)
    floor (0.487422943115234 × 131072)
    floor (63887.5)     		tx = 63887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586849212646484 × 217)
    floor (0.586849212646484 × 131072)
    floor (76919.5)     		ty = 76919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63887 / 76919 ti = "17/63887/76919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63887/76919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63887 ÷ 217
    63887 ÷ 131072     		x = 0.487419128417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76919 ÷ 217
    76919 ÷ 131072     		y = 0.586845397949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.487419128417969 × 2 - 1) × π
    -0.0251617431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.07904795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586845397949219 × 2 - 1) × π
    -0.173690795898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.545665728375099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07904795} λ = -0.07904795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.545665728375099))-π/2
    2×atan(0.579455894674378)-π/2
    2×0.52517655484136-π/2
    1.05035310968272-1.57079632675     		φ = -0.52044322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07904795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.529114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52044322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.819200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63887 KachelY 76919 -0.07904795 -0.52044322 -4.529114 -29.819200
    Oben rechts KachelX + 1 63888 KachelY 76919 -0.07900001 -0.52044322 -4.526367 -29.819200
    Unten links KachelX 63887 KachelY + 1 76920 -0.07904795 -0.52048481 -4.529114 -29.821583
    Unten rechts KachelX + 1 63888 KachelY + 1 76920 -0.07900001 -0.52048481 -4.526367 -29.821583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52044322--0.52048481) × R
    4.15900000000358e-05 × 6371000     		dl = 264.969890000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52044322--0.52048481) × R
    4.15900000000358e-05 × 6371000     		dr = 264.969890000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07904795--0.07900001) × cos(-0.52044322) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.867598867231245 × 6371000     		do = 264.987026047321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07904795--0.07900001) × cos(-0.52048481) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.867578185241031 × 6371000     		du = 264.980709235155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52044322)-sin(-0.52048481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867598867231245-0.867578185241031)×R²
    abs(-0.07900001--0.07904795)×2.06819902137667e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.06819902137667e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.06819902137667e-05×40589641000000     		ar = 70212.7462708774m²