Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63886 / 76917
↖ ↑ ↗
← S 29.814434°
W  4.531860°		 ← 264.94 m → S 29.814434°
W  4.529114°		 →
↑
264.97 m
↓
↑
264.97 m
↓
S 29.816817°
W  4.531860°		 ← 264.94 m →
70 201 m²		 S 29.816817°
W  4.529114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487415313720703 y=0.586833953857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487415313720703 × 217)
    floor (0.487415313720703 × 131072)
    floor (63886.5)     		tx = 63886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586833953857422 × 217)
    floor (0.586833953857422 × 131072)
    floor (76917.5)     		ty = 76917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63886 / 76917 ti = "17/63886/76917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63886/76917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63886 ÷ 217
    63886 ÷ 131072     		x = 0.487411499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76917 ÷ 217
    76917 ÷ 131072     		y = 0.586830139160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.487411499023438 × 2 - 1) × π
    -0.025177001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.07909588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586830139160156 × 2 - 1) × π
    -0.173660278320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.545569854575859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07909588} λ = -0.07909588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.545569854575859))-π/2
    2×atan(0.579511451975695)-π/2
    2×0.5252181458326-π/2
    1.0504362916652-1.57079632675     		φ = -0.52036004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07909588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.531860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52036004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.814434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63886 KachelY 76917 -0.07909588 -0.52036004 -4.531860 -29.814434
    Oben rechts KachelX + 1 63887 KachelY 76917 -0.07904795 -0.52036004 -4.529114 -29.814434
    Unten links KachelX 63886 KachelY + 1 76918 -0.07909588 -0.52040163 -4.531860 -29.816817
    Unten rechts KachelX + 1 63887 KachelY + 1 76918 -0.07904795 -0.52040163 -4.529114 -29.816817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52036004--0.52040163) × R
    4.15899999999247e-05 × 6371000     		dl = 264.969889999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52036004--0.52040163) × R
    4.15899999999247e-05 × 6371000     		dr = 264.969889999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07909588--0.07904795) × cos(-0.52036004) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.867640226709506 × 6371000     		do = 264.944380937607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07909588--0.07904795) × cos(-0.52040163) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.867619547720748 × 6371000     		du = 264.938066359622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52036004)-sin(-0.52040163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867640226709506-0.867619547720748)×R²
    abs(-0.07904795--0.07909588)×2.0678988757683e-05×R²
    4.79299999999877e-05×2.0678988757683e-05×6371000²
    4.79299999999877e-05×2.0678988757683e-05×40589641000000     		ar = 70201.4468966837m²