Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63885 / 76924
↖ ↑ ↗
← S 29.831113°
W  4.534607°		 ← 264.96 m → S 29.831113°
W  4.531860°		 →
↑
264.97 m
↓
↑
264.97 m
↓
S 29.833496°
W  4.534607°		 ← 264.95 m →
70 204 m²		 S 29.833496°
W  4.531860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487407684326172 y=0.586887359619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487407684326172 × 217)
    floor (0.487407684326172 × 131072)
    floor (63885.5)     		tx = 63885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586887359619141 × 217)
    floor (0.586887359619141 × 131072)
    floor (76924.5)     		ty = 76924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63885 / 76924 ti = "17/63885/76924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63885/76924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63885 ÷ 217
    63885 ÷ 131072     		x = 0.487403869628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76924 ÷ 217
    76924 ÷ 131072     		y = 0.586883544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.487403869628906 × 2 - 1) × π
    -0.0251922607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.07914382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586883544921875 × 2 - 1) × π
    -0.17376708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.545905412873199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07914382} λ = -0.07914382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.545905412873199))-π/2
    2×atan(0.579317024722244)-π/2
    2×0.525072586038384-π/2
    1.05014517207677-1.57079632675     		φ = -0.52065115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07914382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.534607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52065115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.831113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63885 KachelY 76924 -0.07914382 -0.52065115 -4.534607 -29.831113
    Oben rechts KachelX + 1 63886 KachelY 76924 -0.07909588 -0.52065115 -4.531860 -29.831113
    Unten links KachelX 63885 KachelY + 1 76925 -0.07914382 -0.52069274 -4.534607 -29.833496
    Unten rechts KachelX + 1 63886 KachelY + 1 76925 -0.07909588 -0.52069274 -4.531860 -29.833496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52065115--0.52069274) × R
    4.15900000000358e-05 × 6371000     		dl = 264.969890000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52065115--0.52069274) × R
    4.15900000000358e-05 × 6371000     		dr = 264.969890000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07914382--0.07909588) × cos(-0.52065115) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.867495452222693 × 6371000     		do = 264.955440441807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07914382--0.07909588) × cos(-0.52069274) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.867474762730186 × 6371000     		du = 264.949121338248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52065115)-sin(-0.52069274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867495452222693-0.867474762730186)×R²
    abs(-0.07909588--0.07914382)×2.06894925062207e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.06894925062207e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.06894925062207e-05×40589641000000     		ar = 70204.3767328356m²