Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63882 / 76930
↖ ↑ ↗
← S 29.845409°
W  4.542847°		 ← 264.86 m → S 29.845409°
W  4.540100°		 →
↑
264.91 m
↓
↑
264.91 m
↓
S 29.847791°
W  4.542847°		 ← 264.86 m →
70 163 m²		 S 29.847791°
W  4.540100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487384796142578 y=0.586933135986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487384796142578 × 217)
    floor (0.487384796142578 × 131072)
    floor (63882.5)     		tx = 63882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586933135986328 × 217)
    floor (0.586933135986328 × 131072)
    floor (76930.5)     		ty = 76930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63882 / 76930 ti = "17/63882/76930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63882/76930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63882 ÷ 217
    63882 ÷ 131072     		x = 0.487380981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76930 ÷ 217
    76930 ÷ 131072     		y = 0.586929321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.487380981445312 × 2 - 1) × π
    -0.025238037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.07928763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586929321289062 × 2 - 1) × π
    -0.173858642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.54619303427092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07928763} λ = -0.07928763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.54619303427092))-π/2
    2×atan(0.579150424709883)-π/2
    2×0.524947839837071-π/2
    1.04989567967414-1.57079632675     		φ = -0.52090065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07928763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.542847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52090065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.845409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63882 KachelY 76930 -0.07928763 -0.52090065 -4.542847 -29.845409
    Oben rechts KachelX + 1 63883 KachelY 76930 -0.07923970 -0.52090065 -4.540100 -29.845409
    Unten links KachelX 63882 KachelY + 1 76931 -0.07928763 -0.52094223 -4.542847 -29.847791
    Unten rechts KachelX + 1 63883 KachelY + 1 76931 -0.07923970 -0.52094223 -4.540100 -29.847791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52090065--0.52094223) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dl = 264.906179999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52090065--0.52094223) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dr = 264.906179999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07928763--0.07923970) × cos(-0.52090065) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.867371312667401 × 6371000     		do = 264.862264799891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07928763--0.07923970) × cos(-0.52094223) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.867350619150878 × 6371000     		du = 264.855945785678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52090065)-sin(-0.52094223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867371312667401-0.867350619150878)×R²
    abs(-0.07923970--0.07928763)×2.06935165232291e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.06935165232291e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.06935165232291e-05×40589641000000     		ar = 70162.8138313988m²