Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6386 / 6060
↖ ↑ ↗
← S 64.997939°
E100.634766°		 ← 2 065.28 m → S 64.997939°
E100.678711°		 →
↑
2 064.52 m
↓
↑
2 064.52 m
↓
S 65.016506°
E100.634766°		 ← 2 063.85 m →
4 262 337 m²		 S 65.016506°
E100.678711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77960205078125 y=0.73980712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77960205078125 × 213)
    floor (0.77960205078125 × 8192)
    floor (6386.5)     		tx = 6386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73980712890625 × 213)
    floor (0.73980712890625 × 8192)
    floor (6060.5)     		ty = 6060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6386 / 6060 ti = "13/6386/6060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6386/6060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6386 ÷ 213
    6386 ÷ 8192     		x = 0.779541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6060 ÷ 213
    6060 ÷ 8192     		y = 0.73974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779541015625 × 2 - 1) × π
    0.55908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75640800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73974609375 × 2 - 1) × π
    -0.4794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50636913366064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75640800} λ = 1.75640800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50636913366064))-π/2
    2×atan(0.221713530475488)-π/2
    2×0.218184140375644-π/2
    0.436368280751288-1.57079632675     		φ = -1.13442805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75640800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13442805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.997939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6386 KachelY 6060 1.75640800 -1.13442805 100.634766 -64.997939
    Oben rechts KachelX + 1 6387 KachelY 6060 1.75717499 -1.13442805 100.678711 -64.997939
    Unten links KachelX 6386 KachelY + 1 6061 1.75640800 -1.13475210 100.634766 -65.016506
    Unten rechts KachelX + 1 6387 KachelY + 1 6061 1.75717499 -1.13475210 100.678711 -65.016506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13442805--1.13475210) × R
    0.000324050000000131 × 6371000     		dl = 2064.52255000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13442805--1.13475210) × R
    0.000324050000000131 × 6371000     		dr = 2064.52255000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75640800-1.75717499) × cos(-1.13442805) × R
    0.000766990000000023 × 0.422650855736037 × 6371000     		do = 2065.28057056697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75640800-1.75717499) × cos(-1.13475210) × R
    0.000766990000000023 × 0.422357149437254 × 6371000     		du = 2063.84537670873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13442805)-sin(-1.13475210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422650855736037-0.422357149437254)×R²
    abs(1.75717499-1.75640800)×0.000293706298782892×R²
    0.000766990000000023×0.000293706298782892×6371000²
    0.000766990000000023×0.000293706298782892×40589641000000     		ar = 4262336.85227358m²