Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6386 / 6058
↖ ↑ ↗
← S 64.960766°
E100.634766°		 ← 2 068.15 m → S 64.960766°
E100.678711°		 →
↑
2 067.39 m
↓
↑
2 067.39 m
↓
S 64.979359°
E100.634766°		 ← 2 066.72 m →
4 274 193 m²		 S 64.979359°
E100.678711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77960205078125 y=0.73956298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77960205078125 × 213)
    floor (0.77960205078125 × 8192)
    floor (6386.5)     		tx = 6386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73956298828125 × 213)
    floor (0.73956298828125 × 8192)
    floor (6058.5)     		ty = 6058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6386 / 6058 ti = "13/6386/6058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6386/6058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6386 ÷ 213
    6386 ÷ 8192     		x = 0.779541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6058 ÷ 213
    6058 ÷ 8192     		y = 0.739501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779541015625 × 2 - 1) × π
    0.55908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75640800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.47900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5048351528728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75640800} λ = 1.75640800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5048351528728))-π/2
    2×atan(0.222053895761804)-π/2
    2×0.218508534942152-π/2
    0.437017069884303-1.57079632675     		φ = -1.13377926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75640800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13377926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.960766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6386 KachelY 6058 1.75640800 -1.13377926 100.634766 -64.960766
    Oben rechts KachelX + 1 6387 KachelY 6058 1.75717499 -1.13377926 100.678711 -64.960766
    Unten links KachelX 6386 KachelY + 1 6059 1.75640800 -1.13410376 100.634766 -64.979359
    Unten rechts KachelX + 1 6387 KachelY + 1 6059 1.75717499 -1.13410376 100.678711 -64.979359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13377926--1.13410376) × R
    0.000324499999999839 × 6371000     		dl = 2067.38949999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13377926--1.13410376) × R
    0.000324499999999839 × 6371000     		dr = 2067.38949999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75640800-1.75717499) × cos(-1.13377926) × R
    0.000766990000000023 × 0.423238760309742 × 6371000     		do = 2068.15336232153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75640800-1.75717499) × cos(-1.13410376) × R
    0.000766990000000023 × 0.422944735130256 × 6371000     		du = 2066.71661025489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13377926)-sin(-1.13410376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423238760309742-0.422944735130256)×R²
    abs(1.75717499-1.75640800)×0.000294025179485569×R²
    0.000766990000000023×0.000294025179485569×6371000²
    0.000766990000000023×0.000294025179485569×40589641000000     		ar = 4274193.42008751m²