Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6385 / 6191
↖ ↑ ↗
← S 67.322924°
E100.590820°		 ← 1 883.92 m → S 67.322924°
E100.634766°		 →
↑
1 883.27 m
↓
↑
1 883.27 m
↓
S 67.339861°
E100.590820°		 ← 1 882.59 m →
3 546 677 m²		 S 67.339861°
E100.634766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77947998046875 y=0.75579833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77947998046875 × 213)
    floor (0.77947998046875 × 8192)
    floor (6385.5)     		tx = 6385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75579833984375 × 213)
    floor (0.75579833984375 × 8192)
    floor (6191.5)     		ty = 6191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6385 / 6191 ti = "13/6385/6191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6385/6191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6385 ÷ 213
    6385 ÷ 8192     		x = 0.7794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6191 ÷ 213
    6191 ÷ 8192     		y = 0.7557373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7794189453125 × 2 - 1) × π
    0.558837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75564101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7557373046875 × 2 - 1) × π
    -0.511474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60684487526428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75564101} λ = 1.75564101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60684487526428))-π/2
    2×atan(0.200519280399689)-π/2
    2×0.197894818028291-π/2
    0.395789636056583-1.57079632675     		φ = -1.17500669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75564101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17500669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.322924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6385 KachelY 6191 1.75564101 -1.17500669 100.590820 -67.322924
    Oben rechts KachelX + 1 6386 KachelY 6191 1.75640800 -1.17500669 100.634766 -67.322924
    Unten links KachelX 6385 KachelY + 1 6192 1.75564101 -1.17530229 100.590820 -67.339861
    Unten rechts KachelX + 1 6386 KachelY + 1 6192 1.75640800 -1.17530229 100.634766 -67.339861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17500669--1.17530229) × R
    0.000295600000000062 × 6371000     		dl = 1883.2676000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17500669--1.17530229) × R
    0.000295600000000062 × 6371000     		dr = 1883.2676000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75564101-1.75640800) × cos(-1.17500669) × R
    0.000766990000000023 × 0.385536900812288 × 6371000     		do = 1883.9234788667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75564101-1.75640800) × cos(-1.17530229) × R
    0.000766990000000023 × 0.385264136093535 × 6371000     		du = 1882.59061589876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17500669)-sin(-1.17530229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385536900812288-0.385264136093535)×R²
    abs(1.75640800-1.75564101)×0.000272764718752816×R²
    0.000766990000000023×0.000272764718752816×6371000²
    0.000766990000000023×0.000272764718752816×40589641000000     		ar = 3546677.0056354m²