Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6385 / 6065
↖ ↑ ↗
← S 65.090646°
E100.590820°		 ← 2 058.11 m → S 65.090646°
E100.634766°		 →
↑
2 057.39 m
↓
↑
2 057.39 m
↓
S 65.109148°
E100.590820°		 ← 2 056.68 m →
4 232 861 m²		 S 65.109148°
E100.634766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77947998046875 y=0.74041748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77947998046875 × 213)
    floor (0.77947998046875 × 8192)
    floor (6385.5)     		tx = 6385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74041748046875 × 213)
    floor (0.74041748046875 × 8192)
    floor (6065.5)     		ty = 6065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6385 / 6065 ti = "13/6385/6065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6385/6065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6385 ÷ 213
    6385 ÷ 8192     		x = 0.7794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6065 ÷ 213
    6065 ÷ 8192     		y = 0.7403564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7794189453125 × 2 - 1) × π
    0.558837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75564101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7403564453125 × 2 - 1) × π
    -0.480712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51020408563025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75564101} λ = 1.75564101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51020408563025))-π/2
    2×atan(0.22086489800754)-π/2
    2×0.217375124574277-π/2
    0.434750249148554-1.57079632675     		φ = -1.13604608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75564101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13604608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.090646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6385 KachelY 6065 1.75564101 -1.13604608 100.590820 -65.090646
    Oben rechts KachelX + 1 6386 KachelY 6065 1.75640800 -1.13604608 100.634766 -65.090646
    Unten links KachelX 6385 KachelY + 1 6066 1.75564101 -1.13636901 100.590820 -65.109148
    Unten rechts KachelX + 1 6386 KachelY + 1 6066 1.75640800 -1.13636901 100.634766 -65.109148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13604608--1.13636901) × R
    0.000322929999999833 × 6371000     		dl = 2057.38702999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13604608--1.13636901) × R
    0.000322929999999833 × 6371000     		dr = 2057.38702999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75564101-1.75640800) × cos(-1.13604608) × R
    0.000766990000000023 × 0.421183894526239 × 6371000     		do = 2058.1122744586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75564101-1.75640800) × cos(-1.13636901) × R
    0.000766990000000023 × 0.420890983048449 × 6371000     		du = 2056.68096448781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13604608)-sin(-1.13636901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421183894526239-0.420890983048449)×R²
    abs(1.75640800-1.75564101)×0.000292911477789981×R²
    0.000766990000000023×0.000292911477789981×6371000²
    0.000766990000000023×0.000292911477789981×40589641000000     		ar = 4232861.15725385m²