Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6384 / 6190
↖ ↑ ↗
← S 67.305976°
E100.546875°		 ← 1 885.26 m → S 67.305976°
E100.590820°		 →
↑
1 884.61 m
↓
↑
1 884.61 m
↓
S 67.322924°
E100.546875°		 ← 1 883.92 m →
3 551 709 m²		 S 67.322924°
E100.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77935791015625 y=0.75567626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77935791015625 × 213)
    floor (0.77935791015625 × 8192)
    floor (6384.5)     		tx = 6384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75567626953125 × 213)
    floor (0.75567626953125 × 8192)
    floor (6190.5)     		ty = 6190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6384 / 6190 ti = "13/6384/6190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6384/6190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6384 ÷ 213
    6384 ÷ 8192     		x = 0.779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6190 ÷ 213
    6190 ÷ 8192     		y = 0.755615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779296875 × 2 - 1) × π
    0.55859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75487402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755615234375 × 2 - 1) × π
    -0.51123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60607788487036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75487402} λ = 1.75487402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60607788487036))-π/2
    2×atan(0.2006731357568)-π/2
    2×0.198042721904921-π/2
    0.396085443809842-1.57079632675     		φ = -1.17471088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75487402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17471088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.305976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6384 KachelY 6190 1.75487402 -1.17471088 100.546875 -67.305976
    Oben rechts KachelX + 1 6385 KachelY 6190 1.75564101 -1.17471088 100.590820 -67.305976
    Unten links KachelX 6384 KachelY + 1 6191 1.75487402 -1.17500669 100.546875 -67.322924
    Unten rechts KachelX + 1 6385 KachelY + 1 6191 1.75564101 -1.17500669 100.590820 -67.322924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17471088--1.17500669) × R
    0.000295810000000118 × 6371000     		dl = 1884.60551000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17471088--1.17500669) × R
    0.000295810000000118 × 6371000     		dr = 1884.60551000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75487402-1.75564101) × cos(-1.17471088) × R
    0.000766990000000023 × 0.385809825584531 × 6371000     		do = 1885.25712393494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75487402-1.75564101) × cos(-1.17500669) × R
    0.000766990000000023 × 0.385536900812288 × 6371000     		du = 1883.9234788667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17471088)-sin(-1.17500669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385809825584531-0.385536900812288)×R²
    abs(1.75564101-1.75487402)×0.000272924772243666×R²
    0.000766990000000023×0.000272924772243666×6371000²
    0.000766990000000023×0.000272924772243666×40589641000000     		ar = 3551709.29201312m²