Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6384 / 6064
↖ ↑ ↗
← S 65.072130°
E100.546875°		 ← 2 059.54 m → S 65.072130°
E100.590820°		 →
↑
2 058.85 m
↓
↑
2 058.85 m
↓
S 65.090646°
E100.546875°		 ← 2 058.11 m →
4 238 824 m²		 S 65.090646°
E100.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77935791015625 y=0.74029541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77935791015625 × 213)
    floor (0.77935791015625 × 8192)
    floor (6384.5)     		tx = 6384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74029541015625 × 213)
    floor (0.74029541015625 × 8192)
    floor (6064.5)     		ty = 6064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6384 / 6064 ti = "13/6384/6064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6384/6064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6384 ÷ 213
    6384 ÷ 8192     		x = 0.779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6064 ÷ 213
    6064 ÷ 8192     		y = 0.740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779296875 × 2 - 1) × π
    0.55859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75487402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740234375 × 2 - 1) × π
    -0.48046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50943709523633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75487402} λ = 1.75487402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50943709523633))-π/2
    2×atan(0.221034364243846)-π/2
    2×0.21753670276659-π/2
    0.435073405533179-1.57079632675     		φ = -1.13572292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75487402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13572292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.072130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6384 KachelY 6064 1.75487402 -1.13572292 100.546875 -65.072130
    Oben rechts KachelX + 1 6385 KachelY 6064 1.75564101 -1.13572292 100.590820 -65.072130
    Unten links KachelX 6384 KachelY + 1 6065 1.75487402 -1.13604608 100.546875 -65.090646
    Unten rechts KachelX + 1 6385 KachelY + 1 6065 1.75564101 -1.13604608 100.590820 -65.090646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13572292--1.13604608) × R
    0.000323159999999989 × 6371000     		dl = 2058.85235999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13572292--1.13604608) × R
    0.000323159999999989 × 6371000     		dr = 2058.85235999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75487402-1.75564101) × cos(-1.13572292) × R
    0.000766990000000023 × 0.421476970654384 × 6371000     		do = 2059.54438899224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75487402-1.75564101) × cos(-1.13604608) × R
    0.000766990000000023 × 0.421183894526239 × 6371000     		du = 2058.1122744586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13572292)-sin(-1.13604608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421476970654384-0.421183894526239)×R²
    abs(1.75564101-1.75487402)×0.00029307612814522×R²
    0.000766990000000023×0.00029307612814522×6371000²
    0.000766990000000023×0.00029307612814522×40589641000000     		ar = 4238823.60649604m²