Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6383 / 6221
↖ ↑ ↗
← S 67.825836°
E100.502930°		 ← 1 844.28 m → S 67.825836°
E100.546875°		 →
↑
1 843.64 m
↓
↑
1 843.64 m
↓
S 67.842416°
E100.502930°		 ← 1 842.97 m →
3 398 974 m²		 S 67.842416°
E100.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77923583984375 y=0.75946044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77923583984375 × 213)
    floor (0.77923583984375 × 8192)
    floor (6383.5)     		tx = 6383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75946044921875 × 213)
    floor (0.75946044921875 × 8192)
    floor (6221.5)     		ty = 6221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6383 / 6221 ti = "13/6383/6221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6383/6221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6383 ÷ 213
    6383 ÷ 8192     		x = 0.7791748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6221 ÷ 213
    6221 ÷ 8192     		y = 0.7593994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7791748046875 × 2 - 1) × π
    0.558349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75410703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7593994140625 × 2 - 1) × π
    -0.518798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62985458708191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75410703} λ = 1.75410703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62985458708191))-π/2
    2×atan(0.195958066889581)-π/2
    2×0.193506082032515-π/2
    0.387012164065029-1.57079632675     		φ = -1.18378416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75410703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.502930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18378416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.825836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6383 KachelY 6221 1.75410703 -1.18378416 100.502930 -67.825836
    Oben rechts KachelX + 1 6384 KachelY 6221 1.75487402 -1.18378416 100.546875 -67.825836
    Unten links KachelX 6383 KachelY + 1 6222 1.75410703 -1.18407354 100.502930 -67.842416
    Unten rechts KachelX + 1 6384 KachelY + 1 6222 1.75487402 -1.18407354 100.546875 -67.842416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18378416--1.18407354) × R
    0.000289379999999895 × 6371000     		dl = 1843.63997999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18378416--1.18407354) × R
    0.000289379999999895 × 6371000     		dr = 1843.63997999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75410703-1.75487402) × cos(-1.18378416) × R
    0.000766990000000023 × 0.377423248236351 × 6371000     		do = 1844.27616999699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75410703-1.75487402) × cos(-1.18407354) × R
    0.000766990000000023 × 0.377155254730462 × 6371000     		du = 1842.9666215287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18378416)-sin(-1.18407354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377423248236351-0.377155254730462)×R²
    abs(1.75487402-1.75410703)×0.00026799350588913×R²
    0.000766990000000023×0.00026799350588913×6371000²
    0.000766990000000023×0.00026799350588913×40589641000000     		ar = 3398974.13693277m²