Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6381 / 6026
↖ ↑ ↗
← S 64.358931°
E100.415039°		 ← 2 114.54 m → S 64.358931°
E100.458984°		 →
↑
2 113.83 m
↓
↑
2 113.83 m
↓
S 64.377941°
E100.415039°		 ← 2 113.08 m →
4 468 247 m²		 S 64.377941°
E100.458984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77899169921875 y=0.73565673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77899169921875 × 213)
    floor (0.77899169921875 × 8192)
    floor (6381.5)     		tx = 6381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73565673828125 × 213)
    floor (0.73565673828125 × 8192)
    floor (6026.5)     		ty = 6026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6381 / 6026 ti = "13/6381/6026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6381/6026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6381 ÷ 213
    6381 ÷ 8192     		x = 0.7789306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6026 ÷ 213
    6026 ÷ 8192     		y = 0.735595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7789306640625 × 2 - 1) × π
    0.557861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75257305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735595703125 × 2 - 1) × π
    -0.47119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48029146026733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75257305} λ = 1.75257305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48029146026733))-π/2
    2×atan(0.227571350710169)-π/2
    2×0.223760539083422-π/2
    0.447521078166845-1.57079632675     		φ = -1.12327525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75257305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.415039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12327525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.358931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6381 KachelY 6026 1.75257305 -1.12327525 100.415039 -64.358931
    Oben rechts KachelX + 1 6382 KachelY 6026 1.75334004 -1.12327525 100.458984 -64.358931
    Unten links KachelX 6381 KachelY + 1 6027 1.75257305 -1.12360704 100.415039 -64.377941
    Unten rechts KachelX + 1 6382 KachelY + 1 6027 1.75334004 -1.12360704 100.458984 -64.377941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12327525--1.12360704) × R
    0.000331789999999943 × 6371000     		dl = 2113.83408999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12327525--1.12360704) × R
    0.000331789999999943 × 6371000     		dr = 2113.83408999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75257305-1.75334004) × cos(-1.12327525) × R
    0.000766990000000023 × 0.43273206073632 × 6371000     		do = 2114.54231115596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75257305-1.75334004) × cos(-1.12360704) × R
    0.000766990000000023 × 0.432432920746171 × 6371000     		du = 2113.08056560133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12327525)-sin(-1.12360704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43273206073632-0.432432920746171)×R²
    abs(1.75334004-1.75257305)×0.000299139990149189×R²
    0.000766990000000023×0.000299139990149189×6371000²
    0.000766990000000023×0.000299139990149189×40589641000000     		ar = 4468246.71926867m²