Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6381 / 6001
↖ ↑ ↗
← S 63.879390°
E100.415039°		 ← 2 151.34 m → S 63.879390°
E100.458984°		 →
↑
2 150.59 m
↓
↑
2 150.59 m
↓
S 63.898731°
E100.415039°		 ← 2 149.86 m →
4 625 064 m²		 S 63.898731°
E100.458984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77899169921875 y=0.73260498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77899169921875 × 213)
    floor (0.77899169921875 × 8192)
    floor (6381.5)     		tx = 6381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73260498046875 × 213)
    floor (0.73260498046875 × 8192)
    floor (6001.5)     		ty = 6001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6381 / 6001 ti = "13/6381/6001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6381/6001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6381 ÷ 213
    6381 ÷ 8192     		x = 0.7789306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6001 ÷ 213
    6001 ÷ 8192     		y = 0.7325439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7789306640625 × 2 - 1) × π
    0.557861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75257305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7325439453125 × 2 - 1) × π
    -0.465087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46111670041931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75257305} λ = 1.75257305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46111670041931))-π/2
    2×atan(0.231977081132123)-π/2
    2×0.227945323423755-π/2
    0.45589064684751-1.57079632675     		φ = -1.11490568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75257305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.415039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11490568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.879390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6381 KachelY 6001 1.75257305 -1.11490568 100.415039 -63.879390
    Oben rechts KachelX + 1 6382 KachelY 6001 1.75334004 -1.11490568 100.458984 -63.879390
    Unten links KachelX 6381 KachelY + 1 6002 1.75257305 -1.11524324 100.415039 -63.898731
    Unten rechts KachelX + 1 6382 KachelY + 1 6002 1.75334004 -1.11524324 100.458984 -63.898731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11490568--1.11524324) × R
    0.000337560000000181 × 6371000     		dl = 2150.59476000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11490568--1.11524324) × R
    0.000337560000000181 × 6371000     		dr = 2150.59476000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75257305-1.75334004) × cos(-1.11490568) × R
    0.000766990000000023 × 0.440262172703705 × 6371000     		do = 2151.33815275754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75257305-1.75334004) × cos(-1.11524324) × R
    0.000766990000000023 × 0.439959062876721 × 6371000     		du = 2149.85700862185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11490568)-sin(-1.11524324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440262172703705-0.439959062876721)×R²
    abs(1.75334004-1.75257305)×0.000303109826983838×R²
    0.000766990000000023×0.000303109826983838×6371000²
    0.000766990000000023×0.000303109826983838×40589641000000     		ar = 4625063.93181976m²