Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6380 / 6500
↖ ↑ ↗
← N 34.813803°
W 39.814453°		 ← 2 005.96 m → N 34.813803°
W 39.792480°		 →
↑
2 006.16 m
↓
↑
2 006.16 m
↓
N 34.795761°
W 39.814453°		 ← 2 006.40 m →
4 024 726 m²		 N 34.795761°
W 39.792480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.389434814453125 y=0.396759033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.389434814453125 × 214)
    floor (0.389434814453125 × 16384)
    floor (6380.5)     		tx = 6380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.396759033203125 × 214)
    floor (0.396759033203125 × 16384)
    floor (6500.5)     		ty = 6500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6380 / 6500 ti = "14/6380/6500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6380/6500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6380 ÷ 214
    6380 ÷ 16384     		x = 0.389404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6500 ÷ 214
    6500 ÷ 16384     		y = 0.396728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.389404296875 × 2 - 1) × π
    -0.22119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.69489330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.396728515625 × 2 - 1) × π
    0.20654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.64887387325708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69489330} λ = -0.69489330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.64887387325708))-π/2
    2×atan(1.91338490141089)-π/2
    2×1.08920590990251-π/2
    2.17841181980502-1.57079632675     		φ = 0.60761549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69489330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.814453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60761549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.813803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6380 KachelY 6500 -0.69489330 0.60761549 -39.814453 34.813803
    Oben rechts KachelX + 1 6381 KachelY 6500 -0.69450980 0.60761549 -39.792480 34.813803
    Unten links KachelX 6380 KachelY + 1 6501 -0.69489330 0.60730060 -39.814453 34.795761
    Unten rechts KachelX + 1 6381 KachelY + 1 6501 -0.69450980 0.60730060 -39.792480 34.795761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60761549-0.60730060) × R
    0.000314890000000068 × 6371000     		dl = 2006.16419000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60761549-0.60730060) × R
    0.000314890000000068 × 6371000     		dr = 2006.16419000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69489330--0.69450980) × cos(0.60761549) × R
    0.000383500000000092 × 0.821011694525983 × 6371000     		do = 2005.96022148438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69489330--0.69450980) × cos(0.60730060) × R
    0.000383500000000092 × 0.821191428101707 × 6371000     		du = 2006.39936066568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60761549)-sin(0.60730060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.821011694525983-0.821191428101707)×R²
    abs(-0.69450980--0.69489330)×0.00017973357572354×R²
    0.000383500000000092×0.00017973357572354×6371000²
    0.000383500000000092×0.00017973357572354×40589641000000     		ar = 4024726.08881367m²