Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6380 / 6197
↖ ↑ ↗
← S 67.424364°
E100.371094°		 ← 1 875.94 m → S 67.424364°
E100.415039°		 →
↑
1 875.24 m
↓
↑
1 875.24 m
↓
S 67.441229°
E100.371094°		 ← 1 874.61 m →
3 516 589 m²		 S 67.441229°
E100.415039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77886962890625 y=0.75653076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77886962890625 × 213)
    floor (0.77886962890625 × 8192)
    floor (6380.5)     		tx = 6380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75653076171875 × 213)
    floor (0.75653076171875 × 8192)
    floor (6197.5)     		ty = 6197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6380 / 6197 ti = "13/6380/6197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6380/6197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6380 ÷ 213
    6380 ÷ 8192     		x = 0.77880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6197 ÷ 213
    6197 ÷ 8192     		y = 0.7564697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77880859375 × 2 - 1) × π
    0.5576171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75180606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7564697265625 × 2 - 1) × π
    -0.512939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61144681762781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75180606} λ = 1.75180606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61144681762781))-π/2
    2×atan(0.199598622261157)-π/2
    2×0.197009589943288-π/2
    0.394019179886575-1.57079632675     		φ = -1.17677715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75180606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17677715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.424364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6380 KachelY 6197 1.75180606 -1.17677715 100.371094 -67.424364
    Oben rechts KachelX + 1 6381 KachelY 6197 1.75257305 -1.17677715 100.415039 -67.424364
    Unten links KachelX 6380 KachelY + 1 6198 1.75180606 -1.17707149 100.371094 -67.441229
    Unten rechts KachelX + 1 6381 KachelY + 1 6198 1.75257305 -1.17707149 100.415039 -67.441229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17677715--1.17707149) × R
    0.000294340000000171 × 6371000     		dl = 1875.24014000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17677715--1.17707149) × R
    0.000294340000000171 × 6371000     		dr = 1875.24014000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75180606-1.75257305) × cos(-1.17677715) × R
    0.000766990000000023 × 0.38390270740939 × 6371000     		do = 1875.93800376887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75180606-1.75257305) × cos(-1.17707149) × R
    0.000766990000000023 × 0.383630905012957 × 6371000     		du = 1874.6098431825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17677715)-sin(-1.17707149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38390270740939-0.383630905012957)×R²
    abs(1.75257305-1.75180606)×0.000271802396432597×R²
    0.000766990000000023×0.000271802396432597×6371000²
    0.000766990000000023×0.000271802396432597×40589641000000     		ar = 3516588.96018574m²