Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63798 / 75824
↖ ↑ ↗
← S 27.176469°
W  4.773559°		 ← 271.71 m → S 27.176469°
W  4.770813°		 →
↑
271.66 m
↓
↑
271.66 m
↓
S 27.178912°
W  4.773559°		 ← 271.70 m →
73 811 m²		 S 27.178912°
W  4.770813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486743927001953 y=0.578495025634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486743927001953 × 217)
    floor (0.486743927001953 × 131072)
    floor (63798.5)     		tx = 63798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578495025634766 × 217)
    floor (0.578495025634766 × 131072)
    floor (75824.5)     		ty = 75824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63798 / 75824 ti = "17/63798/75824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63798/75824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63798 ÷ 217
    63798 ÷ 131072     		x = 0.486740112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75824 ÷ 217
    75824 ÷ 131072     		y = 0.5784912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486740112304688 × 2 - 1) × π
    -0.026519775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08331433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5784912109375 × 2 - 1) × π
    -0.156982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.493174823291138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08331433} λ = -0.08331433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.493174823291138))-π/2
    2×atan(0.610684497859347)-π/2
    2×0.548238730694598-π/2
    1.0964774613892-1.57079632675     		φ = -0.47431887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08331433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.773559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47431887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.176469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63798 KachelY 75824 -0.08331433 -0.47431887 -4.773559 -27.176469
    Oben rechts KachelX + 1 63799 KachelY 75824 -0.08326639 -0.47431887 -4.770813 -27.176469
    Unten links KachelX 63798 KachelY + 1 75825 -0.08331433 -0.47436151 -4.773559 -27.178912
    Unten rechts KachelX + 1 63799 KachelY + 1 75825 -0.08326639 -0.47436151 -4.770813 -27.178912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47431887--0.47436151) × R
    4.26399999999827e-05 × 6371000     		dl = 271.65943999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47431887--0.47436151) × R
    4.26399999999827e-05 × 6371000     		dr = 271.65943999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08331433--0.08326639) × cos(-0.47431887) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.889604022247239 × 6371000     		do = 271.707966801897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08331433--0.08326639) × cos(-0.47436151) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.889584546359723 × 6371000     		du = 271.70201836454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47431887)-sin(-0.47436151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889604022247239-0.889584546359723)×R²
    abs(-0.08326639--0.08331433)×1.94758875163847e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.94758875163847e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.94758875163847e-05×40589641000000     		ar = 73811.2261414978m²