Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63795 / 75827
↖ ↑ ↗
← S 27.183799°
W  4.781799°		 ← 271.63 m → S 27.183799°
W  4.779053°		 →
↑
271.66 m
↓
↑
271.66 m
↓
S 27.186242°
W  4.781799°		 ← 271.63 m →
73 791 m²		 S 27.186242°
W  4.779053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486721038818359 y=0.578517913818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486721038818359 × 217)
    floor (0.486721038818359 × 131072)
    floor (63795.5)     		tx = 63795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578517913818359 × 217)
    floor (0.578517913818359 × 131072)
    floor (75827.5)     		ty = 75827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63795 / 75827 ti = "17/63795/75827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63795/75827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63795 ÷ 217
    63795 ÷ 131072     		x = 0.486717224121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75827 ÷ 217
    75827 ÷ 131072     		y = 0.578514099121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486717224121094 × 2 - 1) × π
    -0.0265655517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08345814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578514099121094 × 2 - 1) × π
    -0.157028198242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.493318633989998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08345814} λ = -0.08345814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.493318633989998))-π/2
    2×atan(0.610596681209565)-π/2
    2×0.548174765507284-π/2
    1.09634953101457-1.57079632675     		φ = -0.47444680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08345814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.781799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47444680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.183799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63795 KachelY 75827 -0.08345814 -0.47444680 -4.781799 -27.183799
    Oben rechts KachelX + 1 63796 KachelY 75827 -0.08341021 -0.47444680 -4.779053 -27.183799
    Unten links KachelX 63795 KachelY + 1 75828 -0.08345814 -0.47448944 -4.781799 -27.186242
    Unten rechts KachelX + 1 63796 KachelY + 1 75828 -0.08341021 -0.47448944 -4.779053 -27.186242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47444680--0.47448944) × R
    4.26399999999827e-05 × 6371000     		dl = 271.65943999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47444680--0.47448944) × R
    4.26399999999827e-05 × 6371000     		dr = 271.65943999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08345814--0.08341021) × cos(-0.47444680) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.889545585164014 × 6371000     		do = 271.63344566323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08345814--0.08341021) × cos(-0.47448944) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.889526104423978 × 6371000     		du = 271.627496984907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47444680)-sin(-0.47448944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889545585164014-0.889526104423978)×R²
    abs(-0.08341021--0.08345814)×1.94807400361041e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.94807400361041e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.94807400361041e-05×40589641000000     		ar = 73790.9817379018m²