Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63794 / 75826
↖ ↑ ↗
← S 27.181356°
W  4.784546°		 ← 271.70 m → S 27.181356°
W  4.781799°		 →
↑
271.72 m
↓
↑
271.72 m
↓
S 27.183799°
W  4.784546°		 ← 271.69 m →
73 825 m²		 S 27.183799°
W  4.781799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486713409423828 y=0.578510284423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486713409423828 × 217)
    floor (0.486713409423828 × 131072)
    floor (63794.5)     		tx = 63794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578510284423828 × 217)
    floor (0.578510284423828 × 131072)
    floor (75826.5)     		ty = 75826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63794 / 75826 ti = "17/63794/75826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63794/75826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63794 ÷ 217
    63794 ÷ 131072     		x = 0.486709594726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75826 ÷ 217
    75826 ÷ 131072     		y = 0.578506469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486709594726562 × 2 - 1) × π
    -0.026580810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08350608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578506469726562 × 2 - 1) × π
    -0.157012939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.493270697090378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08350608} λ = -0.08350608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.493270697090378))-π/2
    2×atan(0.610625952022951)-π/2
    2×0.548196086769501-π/2
    1.096392173539-1.57079632675     		φ = -0.47440415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08350608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.784546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47440415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.181356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63794 KachelY 75826 -0.08350608 -0.47440415 -4.784546 -27.181356
    Oben rechts KachelX + 1 63795 KachelY 75826 -0.08345814 -0.47440415 -4.781799 -27.181356
    Unten links KachelX 63794 KachelY + 1 75827 -0.08350608 -0.47444680 -4.784546 -27.183799
    Unten rechts KachelX + 1 63795 KachelY + 1 75827 -0.08345814 -0.47444680 -4.781799 -27.183799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47440415--0.47444680) × R
    4.26499999999774e-05 × 6371000     		dl = 271.723149999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47440415--0.47444680) × R
    4.26499999999774e-05 × 6371000     		dr = 271.723149999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08350608--0.08345814) × cos(-0.47440415) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.889565068854791 × 6371000     		do = 271.696069433105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08350608--0.08345814) × cos(-0.47444680) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.889545585164014 × 6371000     		du = 271.690118612431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47440415)-sin(-0.47444680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889565068854791-0.889545585164014)×R²
    abs(-0.08345814--0.08350608)×1.94836907763118e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.94836907763118e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.94836907763118e-05×40589641000000     		ar = 73825.3033523255m²